求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值

关键是要对绝对值的概念很清楚。先说说绝对值。
|x|，当x>=0时，|x|=x，当x<0时，|x|=-x。

考虑原题，里面有两个绝对值：
|x-3|，当x<3时，|x-3|=3-x；当x>=3时，|x-3|=x-3。
|x+1|，当x<-1时，|x+1|=-1-x；当x>-1时，|x+1|=x+1。

可以看出，这里面总共有两个分界点，-1和3。我们分别讨论：
当x<-1时，|x+1|=-1-x，而如果x<-1，那么它自然也满足x<3，所以此时|x-3|=3-x。
合起来就是：当x<-1时，y=|x-3|-|x+1|=3-x-(-1-x)=4；

当3>=x>=-1时，|x+1|=x+1，|x-3|=3-x，所以
y=|x-3|-|x+1|=3-x-(x+1)=2-x；

当x>3时，|x+1|=x+1，|x-3|=x-3，所以
y=|x-3|-|x+1|=x-3-(x+1)=-4。

总结一下：
x<-1时，y=4；
3>=x>=-1时，y=2-x；
x>3时，y=-4。

所以，y的最大值是4，最小值是-4。

需要说明的是，3>=x>=-1时，y=2-x，而y=2-x是一个减函数，当3>=x>=-1时，它的值域为[-4,4]。

当x＜-1时
函数y=|x-3|-|x+1|=3-x+x+1=4
当-1≤x≤3时
y=|x-3|-|x+1|=3-x-x+1=-2x+2 值域-4≤y≤4
当x>3时
y=|x-3|-|x+1|=x-3-x-1=4
所以y=|x-3|-|x+1|的最大值是4，最小值是-4

我们可以用几何的办法来解决这个问题，将此函数看成是平面上一个数X到3的距离与X到-1的距离之差，最大值4，最小值-4.

最大值4 最小值-4

这样也行？要是当年我们上学也能这么先进多好