求幂级数∑(∞,n＝1)1⼀nx∧n的收敛域和函数

2025-04-13 18:09:33

推荐回答（3个）

回答（1）：

简单计算一下即可，答案如图所示

回答（2）：

用柯西判别法可以判断收敛半径为1，另外在1处显然发散，在-1处为莱布尼茨型级数显然收敛，所以收敛域为[-1，1），令S=∑(∞,n＝1)1/nx∧n，则S
′=∑(∞,n＝1)x∧(n-1)=1/(1-x)
所以S=∫1/(1-x)dx=-ln(1-x)+C，由S(0)=0可知C=0，
所以S=-ln(1-x)（端点-1处的值利用幂级数的连续性可知也满足这个式子）

回答（3）：

把求和项里的x提出来一个
s(x)/x=∑(n=1,∞)nx^（n-1）
两边同时积分，∫∑(n=1,∞)nx^（n-1）积分得∑(n=1,∞)x^n级数=1/（1-x）-1
，（|x|<1)。
再把等式两边同时求导，得s(x)/x=(-1)/(1-x)^2，（-1

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