lim（1+1⼀2+1+2^2+…1⼀2^n） n趋向无穷

2025-04-14 11:20:54

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回答（1）：

说明：原题应该是“lim（1+1/2+1/2^2+…+1/2^n）
n趋向无穷”。
解：∵令Sn=1+1/2+1/2^2+…+1/2^n...........(1)
==>Sn/2=1/2+1/2^2+1/2^3+.......+1/2^(n+1)
(等式两端同除2)..........(2)
∴由(1)式减(2)式，得
(1-1/2)Sn=1-1/2^(n+1)
==>Sn=[1-1/2^(n+1)]/[(1-1/2)]=2[1-1/2^(n+1)]
故lim(n->∞)(1+1/2+1/2^2+…+1/2^n)=lim(n->∞)Sn
=lim(n->∞){2[1-1/2^(n+1)]}
=2(1-0)
=2。

回答（2）：

用夹逼定理：
n²/(n
^2＋
nπ
）≤n〔［1/(n
^2＋
π
）］+…+［1/(n
^2+n
π
)］〕≤n²/(n
^2＋
π
）
lim（n→∞）n珐贰粹荷诔沽达泰惮骏8;/(n
^2＋
nπ
）=1
lim（n→∞）n²/(n
^2＋
π
）=1
所以证明lim（n→∞）n〔［1/(n
^2＋
π
）］+［1/(n
^2+
π
）］+…+［1/(n
^2+n
π
)］〕＝1