由曲线y=1⼀x和直线x=1,x=2及y=0围成的平面图形绕x轴旋转一周所的旋转体体积。

条直线x=1，x+y-2=0和x-y-2=0围成一个封闭的平面图形．求此平面图形绕直线x=1旋转一周所得旋转体的体积和表面积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：同一坐标系内作出三条直线，得它们的交点为A（1，1）、B（1，-1）、C（2，0），△ABC构成以C为直角顶点的等腰直角三角形．由此可得所求旋转体是两个底面半径为1，高为1的全等圆锥拼接而成，结合锥体体积公式可得本题的答案．解答：解：作出直线x=1，x+y-2=0和x-y-2=0，如图
它们的交点分别为A（1，1），B（1，-1），C（2，0），
且△ABC构成以C为直角顶点的等腰直角三角形，
以直线AB：x=1为轴旋转一周，
所得几何体为两个底面半径为1，高为1的全等的圆锥拼接而成的锥体．
∴所求几何体的体积为：V=2•
13πr2h=
2π3；表面积为S=
12l•2πr•2=2
2π．

解
图形绕y轴旋转，则该立体可看作圆柱体（即由x=1,y=e,x=0,y=0
所围成的图形绕y轴所得的立方体）
减去由曲线y=e^x,y=e,x=0所围成
的图形绕y轴所得的立体，因此体积为
v=π*1²*e-∫【1→e】[π(ln
y)²
dy]
{注：此处∫【1→e】表示上限为e，下限为1的定积分，下同}
=πe-∫【0→1】[πx²
d(e^x)]
下面对∫【0→1】[πx²
d(e^x)]用分部积分法
∫【0→1】[πx²
d(e^x)]
=π（1²*e-0)-π[∫【0→1】[e^x
dx²]
=πe-2π[∫【0→1】[e^x*x
dx]
=πe-2π[∫【0→1】[x
de^x]
=πe-2π(1*e-0)+2π[∫【0→1】[e^x
dx]
=πe-2πe+2π(e-1)
=πe-2π
于是v=πe-∫【0→1】[πx²
d(e^x)]
=πe-（πe-2π）
=2π