简单计算一下即可，答案如图所示
lim(x→0）[e^sinx-e^tanx]/[x(1-cos4x)]
x->0
sinx ~ x -(1/6)x^3
e^sinx ~ 1 + (x -(1/6)x^3) + (x -(1/6)x^3)^2/4
~ 1+x +x^2/4 -(1/6)x^3
tanx ~ x + (1/3)x^3
e^tanx ~1 + (x +(1/3)x^3) + (x +(1/3)x^3)^2/4
~ 1+x +x^2/4 +(1/3)x^3
e^sinx -e^tanx ~ -(1/2)x^3
1-cos4x ~ 1 -( 1 -(1/2)(4x)^2 )
= 8x^2
x(1-cos4x) ~ 8x^3
lim(x→0）[e^sinx-e^tanx]/[x(1-cos4x)]
=lim(x→0）[-(1/2)x^3/[8x^3]
=-1/16
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