怎么证明当x→+∞时，xsin1⼀x不是无穷小量

证明：

∵0≤|sin1/x|≤1

∴|xsin1/x|=|x||sin1/x|<|x|

对于所有的ε>0，取ε=δ，存在δ

∴当0<|x|<δ时

|f(x)|=|xsin1/x|=|x||sin1/x|<|x|<δ=ε

∴f(x)的极限为0

∴当x→+∞时，xsin1/x不是无穷小量

扩展资料

无穷小量的性质：

1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。

2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

3、无穷小量与自变量的趋势相关。

4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

6、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

7、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

8、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

A. 因sin(1-x^2)是有界量,而
x/(1-x^2)→0 (x→∞),
因而
[xsin(1-x^2)/(1-x^2)]→0 (x→∞).
B. 因 x/(1-x^2)→0 (x→∞),
因而
sin[x/(1-x^2)]/[x/(1-x^2)]→1 (x→∞),
所以
(1-x^2)sin[x/(1-x^2)] = x*{sin[x/(1-x^2)]/[x/(1-x^2)]}→∞ (x→∞).
C. 因 sin[1/(1-x^2)]/[1/(1-x^2)]→1 (x→∞),
因此
[(1-x^2)sin[1/(1-x^2)]/x = (1/x)*{sin[1/(1-x^2)]/[1/(1-x^2)]} →0 (x→∞).

令y＝1／x
则y→0时，（siny）／y→1