如何证明三角形两边之和大于第三边

2025-03-20 13:41:53

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回答（1）：

最简单的证法：两点之间线段最短。

证明过程如下：

（1）因为AC之间是线段，而AB+CB不是直线。

（2）所以AB+CB>AC。

（3）所以三角形两边之和必然大于第三边。

两点之间线段最短是一个公理。又名线段公理。比如把纸上的两个点重合，把纸折叠起来，那两个点就重合了，距离无限近。

扩展资料：

“三角形两边之和大于第三边”为其引申内容，不能使用它来证明“两点之间线段最短”。

“三角形两边之和大于第三边”亦可由欧几里得几何的五条公设直接导出（参见《几何原本》命题20），而由此可以证明两点之间的折线段中，直线段最短。

三角形的一些性质：

1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。

3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

回答（2）：

运用公理：两点之间线段最短，所以两边之和大于第三边，移项就得到两边之差小于第三边。

证明过程如下：

（1）因为AC之间是线段，而AB+CB不是直线。

（2）所以AB+CB>AC。

（3）所以三角形两边之和必然大于第三边。

两点之间线段最短是一个公理。又名线段公理。比如把纸上的两个点重合，把纸折叠起来，那两个点就重合了，距离无限近。

扩展资料：

“三角形两边之和大于第三边”为其引申内容，不能使用它来证明“两点之间线段最短”。

三角形的一些性质：

1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。

3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

回答（3）：

1、三角形任意两条边的和大于第三边。

设三角形ABC，求证：AB+BC＞AC。

证明：

延长AB到D，使BD=BC，连接CD。

∵BD=BC，

∴∠D=∠BCD，

∵∠ACD=∠ACB+∠BCD＞∠BCD，

∴∠ACD＞∠D，

∵在△ADC中，∠ACD＞∠D，

∴AD＞AC（大角对大边），

∵AD=AB+BD=AB+BC，

∴AB+BC＞AC。

2、三角形任意两条边之差小于第三边。

设在三角形ABC，若AB＞BC，求证：AB-BC＜AC。

证明：

延长BC到D，使BD=AB，连接AD。

∵BD=AB，

∴∠D=∠BAD，

∵∠CAD=∠BAD-∠BAC=∠D-∠BAC，

∴∠CAD＜∠D

∵在△ACD中，∠CAD＜∠D，

∴CD＜AC（大角对大边），

∵CD=BD-BC=AB-BC，

∴AB-BC＜AC。

回答（4）：

三角形任意两条边的和大于第三边。