sinx⼀(sinx+cosx)的不定积分怎么算啊？

2024-11-13 11:35:45

推荐回答（5个）

回答（1）：

计算过程如下：

sinx/(sinx+cosx)的不定积分

=∫ (sinxcosx)/(sinx + cosx) dx

= (1/2)∫ (2sinxcosx)/(sinx + cosx) dx

= (1/2)∫ [(1 + 2sinxcosx) - 1]/(sinx + cosx) dx

= (1/2)∫ (sin²x + 2sinxcosx + cos²x)/(sinx + cosx) dx - (1/2)∫ dx/(sinx + cosx)

= (1/2)(- cosx + sinx) - [1/(2√2)]ln|csc(x + π/4) - cot(x + π/4)| + C

不定积分的证明：

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

回答（2）：

∫ (sinxcosx)/(sinx + cosx) dx=(1/2)(- cosx + sinx) - [1/(2√2)]ln|csc(x + π/4) - cot(x + π/4)| + C。C为积分常数。

解答过程如下：

∫ (sinxcosx)/(sinx + cosx) dx

= (1/2)∫ (2sinxcosx)/(sinx + cosx) dx

= (1/2)∫ [(1 + 2sinxcosx) - 1]/(sinx + cosx) dx

= (1/2)∫ (sin²x + 2sinxcosx + cos²x)/(sinx + cosx) dx - (1/2)∫ dx/(sinx + cosx)

= (1/2)∫ (sinx + cosx)²/(sinx + cosx) dx - (1/2)∫ dx/[√2sin(x + π/4)]

= (1/2)∫ (sinx + cosx) dx - [1/(2√2)]∫ csc(x + π/4) dx

= (1/2)(- cosx + sinx) - [1/(2√2)]ln|csc(x + π/4) - cot(x + π/4)| + C

扩展资料：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

不定积分的积分公式主要有如下几类：

含ax+b的积分、含√（a+bx）的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b（a>0）的积分、含有√（a²+x^2）（a>0）的积分、含有√（a^2-x^2）（a>0）的积分、含有√（|a|x^2+bx+c）（a≠0）的积分、含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有指数函数的积分、含有对数函数的积分、含有双曲函数的积分。

回答（3）：

简单计算一下即可，答案如图所示

回答（4）：

∫ (sinxcosx)/(sinx + cosx) dx=(1/2)(- cosx + sinx) - [1/(2√2)]ln|csc(x + π/4) - cot(x + π/4)| + C，C为积分常数。

解答过程如下：

∫ (sinxcosx)/(sinx + cosx) dx

= (1/2)∫ (2sinxcosx)/(sinx + cosx) dx

= (1/2)∫ [(1 + 2sinxcosx) - 1]/(sinx + cosx) dx

= (1/2)∫ (sin²x + 2sinxcosx + cos²x)/(sinx + cosx) dx - (1/2)∫ dx/(sinx + cosx)

= (1/2)(- cosx + sinx) - [1/(2√2)]ln|csc(x + π/4) - cot(x + π/4)| + C

扩展资料

虽然很多函数都可通过如上的各种手段计算其不定积分，但这并不意味着所有的函数的原函数都可以表示成初等函数的有限次复合。

原函数不可以表示成初等函数的有限次复合的函数称为不可积函数，利用微分代数中的微分Galois理论可以证明，xx ，sinx/x这样的函数是不可积的。

回答（5）：

∫ (sinxcosx)/(sinx + cosx) dx=(1/2)(- cosx + sinx) - [1/(2√2)]ln|csc(x + π/4) - cot(x + π/4)| + C。C为积分常数。

解答过程如下：

∫ (sinxcosx)/(sinx + cosx) dx

= (1/2)∫ (2sinxcosx)/(sinx + cosx) dx

= (1/2)∫ [(1 + 2sinxcosx) - 1]/(sinx + cosx) dx

= (1/2)∫ (sin²x + 2sinxcosx + cos²x)/(sinx + cosx) dx - (1/2)∫ dx/(sinx + cosx)

= (1/2)∫ (sinx + cosx)²/(sinx + cosx) dx - (1/2)∫ dx/[√2sin(x + π/4)]

= (1/2)∫ (sinx + cosx) dx - [1/(2√2)]∫ csc(x + π/4) dx

= (1/2)(- cosx + sinx) - [1/(2√2)]ln|csc(x + π/4) - cot(x + π/4)| + C