求用向量证明余弦定理的过程,和利用三角形面推倒正弦定理的过程

2024-11-17 21:25:10

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回答（1）：

很容易

1)用向量证明余弦定理，
设平行四边形ABCD，则根据向量加法法则有

向量AB+向量AD=向量AC

两边平方，得

AB²+AD²+2AB*AD*cos∠BAD=AC²

∵cos∠BAD=-cos∠ABC，AD²=BC²

∴AB²+BC²-2AB*BC*cos∠ABC=AC²

得证！

2)在△ABC中，设AH是BC边上的高，

则sinB=AH/AB,sinC=AH/AC,

∴ABsinB=AH=ACsinC,

∴AB/sinC=AC/sinB

同理可证，

BC/sinA=AB/sinC,

∴AB/sinC=BC/sinA=CA/sinB,

此即正弦定理。

得证！