lim(x→0)[√(1+tanx)-√(1+sinx)]⼀[x√(1+sinx^2)-x]

1/2

先有理化：[√(1+tanx)-√(1+sinx)]＝(tanx-sinx) / [√(1+tanx)+√(1+sinx)]，√(1+sinx^2)-1＝sinx^2 / [√(1+sinx^2)+1]。

[√(1+tanx)+√(1+sinx)]与 / [√(1+sinx^2)+1]的极限都存在，都是2，先计算出来，所以原极限化为：

原式＝lim(x→0) (tanx-sinx)/(xsinx^2)＝lim(x→0) tanx(1-cosx)/(xsinx^2)＝lim(x→0) x(1/2*x^2)/(x*x^2)＝1/2，这里用了等价无穷小

扩展资料：

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限

4、利用无穷小的性质求极限

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限

7、利用两个重要极限公式求极限

8、利用左、右极限求极限，（常是针对求在一个间断点处的极限值）

9、洛必达法则求极限

先有理化：[√(1+tanx)-√(1+sinx)]＝(tanx-sinx) / [√(1+tanx)+√(1+sinx)]，√(1+sinx^2)-1＝sinx^2 / [√(1+sinx^2)+1]。[√(1+tanx)+√(1+sinx)]与 / [√(1+sinx^2)+1]的极限都存在，都是2，先计算出来，所以原极限化为：原式＝lim(x→0) (tanx-sinx)/(xsinx^2)＝lim(x→0) tanx(1-cosx)/(xsinx^2)＝lim(x→0) x(1/2*x^2)/(x*x^2)＝1/2，这里用了等价无穷小

先写过程：第一步是分子有理化，第二步是提取tanx和x，第三步是三个无穷小代换，两个括号里的和tanx都可以无穷小代换。