这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x)
=
∫f(t)dt（上限为自变量x，下限为常数a）。以下用∫f(x)dx表示从a到b的定积分。
首先需要证明，若函数f(x)在[a,b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。
证明：给x一任意增量Δx，当x+Δx在区间[a,b]内时，可以得到
Φ(x+Δx)
=
∫f(t)dt
=
∫f(t)dt
+
∫f(t)dt
=
Φ(x)
+
∫f(t)dt
即
Φ(x+Δx)
-
Φ(x)
=
∫f(t)dt
应用积分中值定理，可以得到
Φ(x+Δx)
-
Φ(x)
=
μΔx
其中m0，即
lim
Φ(x+Δx)
-
Φ(x)
=
0（当Δx->0）
因此Φ(x)为连续函数
其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续，则Φ(x)在此点有导数，为
Φ'(x)
=
f(x)
证明：由以上结论可以得到，对于任意的ε>0，总存在一个δ>0，使|Δx|
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