58问答库 > 数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，总有an，Sn，a2n成等差数列，又记bn=1a2n+1?a

数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，总有an，Sn，a2n成等差数列，又记bn=1a2n+1?a

2025-03-22 11:53:13

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回答（1）：

由已知得2S_n=a_n+a_n²，①
当n≥2时，2S_n-1=a_n-1+
a
，②
①-②，得2a_n=a_n-a_n-1+
a
-
a
，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n-a_n-1=1，
又n=1时，2a₁=a₁+
a
，解得a₁=1，
∴{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a_n=n．
∴b_n=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）．
=

1

2

（

1

3

-

1

2n+3

）=

n

3(2n+3)

=

n

6n+9

．
故选C．