设A是n阶方阵,A是A的伴随矩阵,证明,(1)如果A可逆,则A也可逆,且(A)^-1=1⼀|A|

2024-10-31 15:13:55

推荐回答（5个）

回答（1）：

AA* = |A|E

(A/|A|)A*=E

所以A*可逆,(A*)^-1 = A/|A|

(A^-1)(A^-1)* = E/|A|

两边同时左乘A

(A^-1)* = A/|A| = (A*)^-1

扩展资料：

伴随矩阵某元素代数余子式就是去掉矩阵中某元素所在行和列元素后的形成矩阵的行列式，再乘上-1的（行数+列数）次方。

伴随矩阵的求法：当矩阵是大于等于二阶时：

主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式。

非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x，y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的。

主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y，所以(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1，一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。

回答（2）：

AA* = |A|E

(A/|A|)A*=E

所以A*可逆,(A*)^-1 = A/|A|

(A^-1)(A^-1)* = E/|A|

两边同时左乘A

(A^-1)* = A/|A| = (A*)^-1

例如：

因为a的伴随矩阵的行列式等于a的行列式的n-1次方

所以a*的行列式不为零。则得到（a*)=n

扩展资料：

任何非零数的0次方都等于1。原因如下

通常代表3次方

5的3次方是125，即5×5×5=125

5的2次方是25，即5×5=25

5的1次方是5，即5×1=5

由此可见，n≧0时，将5的（n+1）次方变为5的n次方需除以一个5，所以可定义5的0次方为：

5 ÷ 5 = 1

参考资料来源：百度百科-次方

回答（3）：

A 可逆, 所以 |A| ≠ 0

|A*| = |A|^(n-1) ≠0，所以 A* 可逆。

回答（4）：

AA* = |A|E
(A/|A|)A*=E
所以A*可逆,(A*)^-1 = A/|A|
(A^-1)(A^-1)* = E/|A|
两边同时左乘A
(A^-1)* = A/|A| = (A*)^-1

回答（5）：

图