角的三等分线可以用尺规作图作出来吗？

如果不行说理由如果行详细作法

2025-02-12 22:23:49

推荐回答（2个）

回答（1）：

尺规作图不能三等分角的

尺规作图有如下功能:
1.作过两点的直线
2.作已知圆心和半径的圆
3.作已知圆和直线间的交点

如上种种,都是二次的有理作图,因此不可能实现三次无理开方

其实否定三等分角,无异于找到复数z=a+bi(a,b为三次无理数)z^3的实部和虚部都是非三次无理数

不过现收集到了一些特殊角三等分方法:
180°和90°
用圆规画出角的角平分线，在选一个角画角平分线
1.为作图方便设角BAC为钝角，在角的AB边上任取一点B，在角的AC边上任取一点C，连接BC。
2.作三角形ABC的外接圆O，以圆O的圆心O为圆心，以O到BC的距离为半径画同心内园，内园与BC相切于D
3.作BD的垂线EF且与内园相切于F，垂足为E。
4.作BE的中垂线JK，交外圆于J和K，设K为内园一侧的外圆交点。
5.连接KF并延长与BD相交于G。
6.用平行线截割法将EG线段三等分，定出H点，即EH=2HG。
7.过H点作内园切线，与内园相切于I，连接HI并延长交外圆于J。
8.连接JA，则JA把角BAC三等分。

不用想了,对任意角的尺规作图三等分角是不可能的,这是早有定论的事了,当然,具有探索精神的人们一定会继续研究的

注:

几何的三大问题

平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。

几何三大问题是：

1、化圆为方——求作一正方形使其面积等于一已知圆；
2、三等分任意角；
3、倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。

圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π12的线段（或者是π的线段）。

三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对於某些角如90°、180°三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60°，若能三等分则可以做出20°的角，那么正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360°18=20°）。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。

第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。

这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。

1637年笛卡儿创建解析几何以后，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。

回答（2）：

三等分角问题（trisection of an angle）是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题之一，即用圆规与直尺把一任意角三等分。问题的难处在于作图使用工具的限制。古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规。这问题曾吸引着许多人去研究，但都无一成功。1837年凡齐尔（ 1814－1848）运用代数方法证明了，这是一个标尺作图的不可能问题。
在研究「三等分角」的过程中发现了如蚌线、心脏线、圆锥曲线等特殊曲线。人们还发现，只要放弃「尺规作图」的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。古希腊数学家阿基米得（前287－前212）发现只要在直尺上固定一点，问题就可解决了。现简介其法如下：在直尺边缘上添加一点P，命尺端为O。设所要三等分的角是∠ACB，以C为圆心，OP为半径作半圆交角边于A，B；使O点在CA延在线移动，P点在圆周上移动，当尺通过B时，连OPB（见图）。由于OP＝PC＝CB，所以∠COB＝∠AC B／3。这里使用的工具已不限于标尺，而且作图方法也与公设不合。

另有一机械作图的方法可以三等分角，简介如下：
如右图：ABCD为一正方形，设AB均匀向CD平行移动，AD以D为中心依顺时针方向转到DC，若AB抵达DC时DA也恰好抵达DC，则他们交点的轨迹AO即曲线称为三分线。
令A是AC弧上的任一点，我们要三等分 ADC，设DA与三分线AO交于R，过R作AB之并行线交AD、BC于A、B，令T、U是AD之三等分点，过T、U作AB之并行线交三分线AO于V、W，则DV、DW必将 ADC三等分。

www2.emath.pu.edu.tw/s8805106/hippias-all.htm

www2.emath.pu.edu.tw/s8805106/hippias-all.htm

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