关于矩阵可相似对角化条件的判定的疑问

n阶方阵可进行对角化的充分必要条件是：

1.n阶方阵存在n个线性无关的特征向量

推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值,那么矩阵必然存在相似矩阵

2.如果阶n方阵存在重复的特征值,每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重 复次数

现在从矩阵对角化的过程中,来说说这个条件是怎么来的.

在矩阵的特征问题中,特征向量有一个很好的性质,即Aa=λa.

假设一种特殊的情形,A有n个不同的特征值λi,即Aai=λi*ai.令矩阵P=[a1 a2 ... an]

这样以来AP=A*[a1 a2 ... an]=[A*a1 A*a2 ... A*an]=[λ1*a1 λ2*a2 ... λn*an]=P*B,其中B是对角阵.

B＝

λ1 0 0 ...

0 λ2 0 ...

... ... ... ...

0 0 0 λn

由于不同特征值对应的特征向量是线性无关的,那么P是可逆矩阵,将上面等式换一种描述就是A＝P*B*P-1 ,这也就是A相似与对角阵B定义了.

在这个过程中,A要能对角化有两点很重要：

P是怎么构成的?P由n个线性无关的向量组成,并且向量来自A的特征向量空间.

P要满足可逆.什么情况下P可逆?

矩阵可对角化的条件,其实就是在问什么情况下P可逆?

如果A由n个不同的特征值,1个特征值－对应1个特征向量,那么就很容易找到n个线性无关的特征向量,让他们组成P；

但是如果A有某个λ是个重根呢?比如λ＝3,是个3重根.我们 知道对应的特征方程(3I－A)x＝0不一定有3个线性无关的解.如果λ＝3找不到3个线性无关的解,那么A就不能对角化了,这是因为能让A对角化的P矩阵不存在.

扩展资料：

设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态，将M对角化，就是确定Kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵是对角矩阵。

对角矩阵是指只有主对角线上含有非零元素的矩阵，即，已知一个n×n矩阵  ，如果对于  ，则该矩阵为对角矩阵。如果存在一个矩阵  使  的结果为对角矩阵，则称矩阵 将矩阵  对角化。对于一个矩阵来说，不一定存在将其对角化的矩阵，但是任意一个n×n矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量，则该矩阵可被对角化

对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。

数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。 矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。 针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。

无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。 无限矩阵的一个简单例子是代表一个函数的泰勒级数的导数算子的矩阵。

主条目：特征值，特征向量

n×n的方块矩阵A的一个特征值和对应特征向量是满足  的标量以及非零向量  。其中v为特征向量，  为特征值。

A的所有特征值的全体，叫做A的谱 ，记为  。矩阵的特征值和特征向量可以揭示线性变换的深层特性

旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。

旋转矩阵是世界上著名的彩票专家、澳大利亚数学家底特罗夫研究的，它可以帮助您锁定喜爱的号码，提高中奖的机会。

首先您要先选一些号码，然后，运用某一种旋转矩阵，将你挑选的数字填入相应位置。如果您选择的数字中有一些与开奖号码一样，您将一定会中一定奖级的奖。当然运用这种旋转矩阵，可以最小的成本获得最大的收益，且远远小于复式投注的成本。

旋转矩阵的原理在数学上涉及到的是一种组合设计：覆盖设计。而覆盖设计，填装设计，斯坦纳系，t-设计都是离散数学中的组合优化问题。它们解决的是如何组合集合中的元素以达到某种特定的要求。

参考资料：百度百科-矩阵 百度百科-对角化

n阶方阵可进行对角化的充分必要条件是：
1.n阶方阵存在n个线性无关的特征向量
推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值,那么矩阵必然存在相似矩阵
2.如果阶n方阵存在重复的特征值,每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重 复次数

现在从矩阵对角化的过程中,来说说这个条件是怎么来的.
在矩阵的特征问题中,特征向量有一个很好的性质,即Aa=λa.
假设一种特殊的情形,A有n个不同的特征值λi,即Aai=λi*ai.令矩阵P=[a1 a2 ... an]
这样以来AP=A*[a1 a2 ... an]=[A*a1 A*a2 ... A*an]=[λ1*a1 λ2*a2 ... λn*an]=P*B,其中B是对角阵.
B＝
λ1 0 0 ...
0 λ2 0 ...
... ... ... ...
0 0 0 λn
由于不同特征值对应的特征向量是线性无关的,那么P是可逆矩阵,将上面等式换一种描述就是
A＝P*B*P-1 ,这也就是A相似与对角阵B定义了.

在这个过程中,A要能对角化有两点很重要：
P是怎么构成的?P由n个线性无关的向量组成,并且向量来自A的特征向量空间.
P要满足可逆.什么情况下P可逆?
矩阵可对角化的条件,其实就是在问什么情况下P可逆?
如果A由n个不同的特征值,1个特征值－对应1个特征向量,那么就很容易找到n个线性无关的特征向量,让他们组成P；
但是如果A有某个λ是个重根呢?比如λ＝3,是个3重根.我们 知道对应的特征方程(3I－A)x＝0不一定有3个线性无关的解.如果λ＝3找不到3个线性无关的解,那么A就不能对角化了,这是因为能让A对角化的P矩阵不存在.

本视频详细讲解相似三角形判定，以及线段乘积证明等。

N阶矩阵有N个特征值，每个特征值有无数个特征向量，但是线性无关的特征向量个数不超过对应特征值的重根次数；