放射性核素的衰变积累规律

(一)母核素的衰变规律

把一定量的放射性元素单独的保存起来，其数量会逐渐减少，这是由于一部分元素已经衰变生成另外一种元素了。实验中观察到，如果时间t=t₀时，原子核个数N=N₀，衰变在不断地进行，原子核个数也在不断地减少。在很短的dt时间内，有dN个核衰变了，从统计的观点，改变率必定与当时现存的总原子核数目N成正比，即

放射性勘探方法

积分，得

放射性勘探方法

(1-1)式表示经过t时间后，尚存的原子核数目。该式说明放射性元素是按指数规律衰减的。

在实际工作中，有时关心的问题不是如(1-1)式所表示的，即在某时刻放射源还有多少个核未衰变，而是单位时间里有多少个核发生了衰变。因此定义：放射源包含的所有放射性核素在单位时间内核衰变的总和，为该源的放射性活度，用符号A表示，即

放射性勘探方法

A可以通过仪器测量单位时间内核放出的射线数目(即射线强度)来得到。放射性活度可以写成

放射性勘探方法

令A₀=λN₀，则

放射性勘探方法

式中：A₀表示t=0时放射源的活度。所以，当放射源的A₀为已知时，就可以计算出任何时刻放射源的活度A。必须注意(1-1)式和(1-3)式形式相似，但它们的物理意义是不同的，(1-1)式表示t时刻还有多少个核没有衰变，而(1-3)式则表示t时刻核素的放射性活度有多大。(1-2)式是它们之间的换算式。

(二)放射性衰变的特征常数

用来描写核素随时间而衰减的特征常数有三个，它们是衰变常数、半衰期和平均寿命。

1.衰变常数λ

原子核的衰变是随机的，每一个原子核在哪一时刻发生哪一种核衰变是不能预知的。把单位时间内一个核发生衰变的几率定义为衰变常数，用符号λ表示，即

放射性勘探方法

其量纲为时间的倒数。λ是描写衰减速度的基本参数，每一个核素都有确定的衰变常数，它不受状态和组成等因素的影响。

2.半衰期T

描述衰变速度的另一个重要参数是半衰期，常以符号T表示。它表示：当放射性元素质量减少到原有质量的一半时所需要的时间。若原有N₀个核，经过T时间后尚存的核N=N₀exp(-λT)，因为，

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3.平均寿命τ

每个核的衰变有早有晚，平均寿命是指一个核素的每个原子核生存时间的平均值。设t到t+dt间隔内衰变了dN个核，则

-dN=λ·N·dt=λ·N₀e^-λ·tdt

这就是说，-dN个核已经生存了t时间，按照定义，平均寿命

放射性勘探方法

而

-dN=λ·N₀e^-λ·tdt

所以

放射性勘探方法

因为

放射性勘探方法

所以

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(1-6)式表明了半衰期、衰变常数以及平均寿命三者的关系。

(三)子核素的衰变积累规律

当母体衰变生成子体、子体衰变生成稳定核素时，原子核数目和放射性活度的变化规律如下：

设母体为A，衰变子体为B，B又衰变生成稳定核素C。

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半衰期 T₁T₂

衰变常数 λ₁λ₂

初始原子数目 N₀₁N₀₂=0

t时刻原子数目 N₁N₂

显然，母体A的原子核数目变化服从(1-1)式，即

放射性勘探方法

又

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子体B的核数目变化既与A衰变有关，又服从(1-1)式。即A每衰变一个，B就生长一个，所以B的生长率等于A的衰变率，即λ₁·N₁，子体B在生长的同时，还按(1-1)式规律衰变，衰变率为λ₂·N₂。子体B随时间的变化率为

放射性勘探方法

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解此微分方程得

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若初始时N₀₂≠0，则N₀₂将按(1-1)式规律衰变，与母体无关。子体原子数总的计算式为

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母体的衰变与子体无关。所以母体和子体的放射性活度分别为

A₁=λ₁·N₁，A₂=λ₂·N₂

母体、子体总的放射性活度为

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式中A₀₁=λ₁·N₀₁，N₀₁为t=0时母体的放射性活度。

如果母体、子体半衰期之间存在T₁≫T₂关系，则λ₁≪λ₂，λ₂-λ₁≈λ₂。(1-7)式可改写成

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(1-10)式表达了两个核素相继衰变时子体的积累规律。对于两个以上核素的相继衰变的情况有类似的推导。简述如下：

放射性勘探方法

类似于两个核素的相继衰变的推导，可得出第n个子体原子数的计算式：

放射性勘探方法

式中：

放射性勘探方法

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如果(1-11)式表示当t=0时，只有N₀₁存在的多次连续衰变规律，那么，只要λ₁，λ₂，…，λ_n和N₀₁已知，此式可计算出t时刻任何子体的原子数。如果t=0时有各子体核素存在，显然计算时要加上这些核素连续衰变对N_n的贡献。