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化简多项式：1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+......+x(1+x)^2010

2024-12-04 07:00:26

推荐回答（2个）

回答（1）：

(1+X)^2011
因为前两项化简的时候是：（1+X）*（1+X）=(1+X)^2
前三项化简的结果是：（1+X）*（1+X）^2=(1+X)^3
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一次类推最后的化简结果是：（1+X）^2011

回答（2）：

1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3我们先把1先放一边不考虑!
所以原式就成了x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3 =x(1+x)^0+x(1+x)^1+x(1+x)^2+x(1+x)^3注意观察,这是一个以x为首项,1+x为公比的等比数列,等比数列的求和公式是Sn=a1(1-q^n)/(1-q) ,带入可以得到Sn=x｛1-(1+x)^4｝/｛1-(1+x)｝= (1+x)^4 - 1 这时候我们把刚开始的时候的1加上去.所以因式:1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3=(1+x)^3 - 1+1 = (1+x)^4

所以推广到一般情况,1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+......+x(1+x)^(n-1) = (1+x)^(n-1+1)=(1+x)^n