习题二
一、填空题
1．设随机变量的概率密度函数为
若使得，则的取植范围是 ．
解：
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
综上，若使得，则的取植范围是．
2．设随机变量服从参数为的二项分布，随机变量服从参数为的二项分布．若，则 ．
解：因为，所以，从而有
又，故所求为
3．一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第个零件是不合格品的概率（），以表示3个零件中合格品的个数，则 ．
解： 设表示“第i个零件是合格品”（i=1,2,3），则由题设知事件相互独立，且
故所求概率为
4．设随机变量的概率密度为，以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数，则___________．
解：一次观察中事件出现的该率为
则由题设知，故所求概率为
5．若随机变量服从参数为的正态分布，且，则
．
解：因为，所以
则有
故所求概率为
6．设随机变量的分布函数为
则的概率分布为 ．
解：由题设知的所有可能取值为，且
从而得的概率分布为
X -1 1 3
0.4 0.4 0.2
7．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为 ．
解：设该射手的命中率为，表示四次射击中的命中次数，则由题设知，从而有
故所求为
8．设随机变量服从正态分布，且二次方程无实根的概率为0.5，则= ．
解：因为，所以由题设知
则有
故所求为
4
9．设连续型随机变量的分布函数为
则 ， ．
解：因为X为连续型随机变量，故其分布函数F(x)连续，所以
即 1
从而
10．设随机变量服从参数为（10，0.022）的正态分布．已知，，则落在区间（9.95，10.05）内的概率为 ．
解：因为，所以则落在区间（9.95，10.05）内的概率为
二、单项选择题
1.设与分别为随机变量与的分布函数，为使F（x）=－是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取[ ]
（A）, （B）,
（C）, （D）,
解：根据分布函数的性质：，于是有
即．
对比四个选项知，只有(A)中的和值满足，故正确选项为(A)．
2.设随机变量服从正态分布,则随的增大，概率,则[ ]
(A)单调增大 (B)单调减 (C)保持不变 (D)增减不定
解：由于，因此，于是有
可见所求概率不随和的变化而变化，故正确选项为(C)．
3.设随机变量的密度函数为,且,是的分布函数，则对任意实数, 有[ ]
(A) (B)
(C) (D)
解： 要想最快速度作出选择，首先设法找出随机变量的分布函数满足哪条性质．而其密度函数满足，即为偶函数．为此，先将退到一个特殊位置——把想象成服从标准正态分布的随机变量．
如图，图2—1(1)中阴影部分的面积为，图2—1(2)中阴影部分的面积为，据此很容易选出(B)为正确答案．下面给出证明：
证 由分布函数的定义得
利用积分的可加性，有
(2.2.1)
而由密度函数性质
又因为，所以
(2.2.2)
在积分中作变量替换，令，则
(2.2.3)
将(2.2.2)与(2.2.3)式代入(2.2.1)式，得
故正确选项为(B)．
注： 这种转化过程，其实利用的就是由“一般”退到“特殊”以利于寻求答案，待得到答案后再完成由“特殊”进到“一般”的严格推导的辩证思维．这一思想，尤其是在解决选择题上最常用．
4.设随机变量与均服从正态分布，,;记,，则[ ]
(A)对任何实数,都有 (B)对任何实数,都有
(C)只对个别值,才有 (B)对任何实数,都有
解：由于,，因此，于是有
所以对任何实数,都有，故正确选项为(A)．
5．设随机变量服从正态分布，对给定的α∈(0,1)，数满足，若，则等于[ ]
(A) (B) (C) (D)
解：由于，因此
于是有
从而
又，所以，故正确选项为(B)．
6．设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且
则必有[ ]
(A) (B) (C) (D)
解：由于,，因此，于是有
又
所以
从而
即
所以，故正确选项为(A)．
7．某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好是他第2次命中目标的概率为[ ]
（A） （B） （C） （D）
解：此人第4次射击恰好是他第2次命中目标，即此人前三次射击中只有一次命中且第四次命中目标，设表示“此人前三次射击中的命中次数”,则．另设表示“此人前三次射击中只有一次命中”， 表示“第四次命中目标”，于是有
因此所求为
故正确选项为(C)．
8．随机变量的概率密度为,则的概率密度为 [ ]
（A） （B） （C） （D）
解：的分布函数
所以的概率密度为
也可以写成
故正确选项为(B)．
9．设随机变量的分布函数,则 [ ]
(A) 1 (B) (C) (D)
解：根据分布函数的性质：，于是有
即，故正确选项为(A)．
10．设随机变量的概率分布是
则的概率分布是 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
解：由题设知的所有可能取值为，且
从而得的概率分布为
Y 0 1 4
2/5 1/5 2/5
故正确选项为(A)．
三、解答题
1．分别用随机变量表示下列事件
(1)观察某电话总机每分钟内收到的呼唤次数，试用随机变量表示事件“收到呼唤3次”、“收到呼唤次数不多于6次”；
(2)抽查一批产品，任取一件检查其长度，试用随机变量表示事件“长度等于10cm”、“长度在10cm到10.1cm之间”；
(3)检查产品5件，设为至少有一件次品，为次品不少于两件，试用随机变量表示事件
解：(1)事件“收到呼唤3次”表示为，“收到呼唤次数不多于6次”表示为；
(2)事件“长度等于10cm” 表示为；“长度在10cm到10.1cm之间”表示为
(3)事件
2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以表示取出的3只球中的最大号码，写出的分布律及分布函数．
解：由题设得
，，
从而得的分布律为
X 3 4 5
的分布函数为
3．汽车需要通过有4盏红绿信号灯的道路才能到达目的地．设汽车在每盏红绿灯前通过(即遇到绿灯)的概率都是0.6；停止前进(即遇到红灯)的概率为0.4，求汽车首次停止前进(即遇到红灯，或到达目的地)时，已通过的信号灯的个数的分布律．
解：设表示“汽车在停止前进时已通过的信号灯数”，则随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,4，又设表示事件“汽车将通过时第i盏信号灯开绿灯”，则由题意
表示{已通过的信号灯数是0(即第一盏信号灯是红灯)},故
表示{已通过的信号灯数是1(即第一盏信号灯是绿灯，而第二盏是红灯),故
同理
于是的分布律为
即
0 1 2 3 4
0.4 0.24 0.144 0.0864 0.1296
4．假设随机变量的概率密度为
现在对进行次独立重复观测，以表示观测值不大于0.1的次数. 试求随机变量的概率分布．
解：事件“观测值不大于0.1”，即事件的概率为
每次观测所得观测值不大于0.1为成功，则作为次独立重复试验成功的次数，服从参数为的二项分布，即的概率分布为
5．假设一大型设备在任何长为的时间内发生故障的次数服从参数为的泊松分布．（1）求相继两次故障之间时间间隔的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率．
解：(1)由题设可知
同时易见T是只取非负值的随机变量，当时，；当时，事件与等价．于是有
故T的分布函数为
即T服从参数为的指数分布．
(2)由于指数分布具有“无记忆”性，因此
6．假设测量的随机误差，试求在100次独立重复测量中，至少有三次误差绝对值大于19.6的概率，并利用泊松分布求出的近似值（要求数点后取两位有效数字）．
解：设为每次测量误差的绝对值大于19.6的概率，则
设为100次独立重复测量中事件出现的次数，则服从二项分布，参数为，所以
由泊松定理知，近似服从参数为的泊松分布，故所求为
7．某商品的次品率是0.01．现从一大批该商品中任取500个，问次品数不超过5个的概率．要求：(1)写出二项分布计算公式；（2）用泊松分布计算结果．
解：由题设知X～B(500,0.01),即
所以
(1)次品数不超过5个的概率为
(2) 由泊松定理知，近似服从参数为的泊松分布，故所求为
8．在电源电压不超过200伏、在200—240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2．假设电源电压X服从正态分布，试求：(1)该电子元件损坏的概率；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200—240伏的概率．
解：设表示“电压不超过200伏”， 表示“电压在200—240伏”， 表示“电压超过240伏”； 表示“电子元件损坏” ．
又，所以
(1)由题设可知：，于是由全概率公式有
(2) 由条件概率公式（或贝叶斯公式）得所求为
9．设电流是一个随机变量，它均匀分布在9安~11安之间.若此电流通过2欧姆的电阻，在其上消耗的功率为，求的概率密度．
解：由题意I的概率密度为
对于
由于，所以当时，其分布函数，故
综上，的概率密度为
10．设随机变量在[2，5]上服从均匀分布．现在对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率．
解：由题设知，的分布函数为
设为每次观测中观测值大于3的概率，则
设为3次独立观测中事件出现的次数，则服从二项分布，参数为，故所求为
11．设随机变量的分布律为
X 0 1 2 3 4 5
求的分布律.
解:
X 0 1 2 3 4 5
8 2 0 2 8 18
从而有
故的分布律为
Y 0 2 8 18
12．设随机变量的概率密度函数为，求随机变量的概率密度函数．
解：对任意实数，根据定义随机变量的分布函数为
则有
即随机变量的概率密度函数
13．假设随机变量在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量的概率密度．
解：由题设知，的密度函数为
对任意实数，根据定义随机变量的分布函数为
(1)当时，，则
(2)当时，，则
所以
当即时，
当或时，
综上可得，随机变量的概率密度为
14．假设随机变量的绝对值不大于1；P，P；在事件出现的条件下，在内的任一子空间上取值的条件概率与该子空间的长度成正比．试求的分布函数．
解：由题设可知
所以有
(1)当时，
(2)当时
(3)当时，
综上可得，随机变量的分布函数为
15. 设随机变量的概率密度为，为的分布函数，求的分布函数．
解：
当时，
当时，
当时，
综上可得，随机变量的分布函数为
对任意实数，根据定义随机变量的分布函数为
当时，
当时
当时，
于是，的分布函数为
16. 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，终调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂．现该厂新生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）．求：（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰好有两台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率．
解：对于新生产的每台仪器，设表示“仪器需进一步调试”，表示“仪器能出厂”，则表示“仪器需进一步调试”，表示“仪器经调试后能出厂”．
由题设可知，，，从而有
设表示“所生产的台仪器中能出厂的台数”，则作为次独立试验成功（仪器能出厂）的次数，服从参数为的二项分布，因此
(1)
(2)
(3)
17. 某种型号的电子管的寿命的分布密度函数为
现从一大批中任取5只，问其中至少有两只寿命大于1500小时的概率．
解：
设Y表示 “寿命大于1500小时的电子管只数”，则Y～B(5,2/3),从而所求为
18. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间（单位：分）服从参数为的指数分布．该顾客在窗口等待服务超过10分钟则离开．他一个月到银行5次．以表示未等到服务的次数，试求
（1）的概率分布；
（2）．
解：
(1)由题设，即的概率分布为
(2)
19. 设随机变量在上服从均匀分布，试求一元二次方程有实根的概率．
解：由题设知 ,从而所求为
20. 设随机变量在上服从均匀分布，试求：(1)；(2)的概率密度函数．
解：由题设 可知
(1)
i)当时，，从而有
ii)当时，，从而有
a)当即时，
b)当即时，
c)当即时，
综上，可得的密度函数为
(2)
所以有
i) 当即时，
ii) 当即时，
综上，可得的密度函数为
21. 某汽车从起点驶出时有30名乘客，设沿途有4个停靠站，且该车只下不上．每个乘客在每个站下车的概率相等，并且乘客与乘客在各个站下车与否相互独立，试求：
（1）全在终点站（即第4个停靠站）下车的概率；
（2）至少有2个乘客在终点站下车的概率；
（3）该车驶过2个停靠站后乘客人数降为15的概率；
（4）至少有一个站无人下车的概率．
解：设X表示 “在终点站（即第4个停靠站）下车的人数”，则X～B(30,1/4),从而所求为
（1）
（2）
（3）设Y表示 “在 前2个停靠站下车的人数”，则Y～B(30,1/2),从而所求为
（4）设Z表示 “无人下车的站数”，则所求为
22. 设甲、乙两人进行投篮比赛，甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.7，规定每人投篮两次，谁投进的球数多谁就为优胜者．若投进的球数同样多，则每人再加投一次以决胜负，如仍为同样则为平局．试求：甲获胜，乙获胜，平局的概率各为多少？
解：设X表示“前两次甲投中的次数”，则X～B(2,0.6)；设Y表示 “前两次乙投中的次数”，则Y～B(2,0.7)；表示“第三次甲投中”，表示“第三次乙投中”；表示“甲获胜”，表示“乙获胜”，表示“平局”，从而所求为
23. 设服从正态分布，试求：
(1) ； (2) ； (3)；(4)；
(5)确定使得．
解：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)由，知
从而有
故有
24. 一个工厂生产的电子管寿命(以小时计)，服从参数，的正态分布，若要求，允许最大为多少？
解：由题设可得
从而有
所以
故允许最大为31.25．
25. 设随机变量的概率密度函数为，求：(1) ; (2); (3)分布函数．
解：(1)由得
(2)
(3)
ⅰ)当时，
ⅱ) 当时，
综上，可得的分布函数为
26．设连续型随机变量的分布函数为
其中,求: (1) 和； (2) 的分布密度函数．
解：（1）因为为连续型随机变量，所以连续，故有
而
从而有
（2）
27．设随机变量的概率密度函数为
试求: （1）系数；（2）；（3）的分布函数.
解：(1)由得
(2)
(3)
ⅰ)当时，
ⅱ)当时，
ⅲ)当时，
综上，可得的分布函数为
28. 设随机变量在上服从均匀分布,求的分布函数．
解：由题设可知
所以
ⅰ)当时，
ⅱ)当时，
ⅲ)当时，
ⅳ)当时，
ⅴ)当时，
综上，可得的分布函数为
29. 设随机变量具有对称的概率密度，即为偶函数，，证明：对任意有：
(1) ；
(2) ．
证明：(1)
(2)
30. 假设随机变量服从参数为2的指数分布，证明：在区间上服从均匀分布．
证：由题设可知
所以
i)当即时，，从而有
ii)当时，，从而有
于是可得
a)当即时，
b)当时，
综上，可得的密度函数为
即在区间上服从均匀分布．
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