58问答库 > 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，A1A=22（Ⅰ）求证：EF∥平面A1BC1；（Ⅱ）

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，A1A=22（Ⅰ）求证：EF∥平面A1BC1；（Ⅱ）

2024-11-27 11:14:16

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回答（1）：

证明：（Ⅰ）连接AD₁，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AB

∥

D1C1，则四边形ABC₁D₁是平行四边形，
∴AD₁∥BC₁，
又∵E，F分别是AD，DD₁的中点
∴AD₁∥EF，
∴EF∥BC₁，又EF?面A₁BC₁，BC₁?面A₁BC₁，
∴EF∥平面A₁BC₁（3分）
解：（II）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，
过Q作QP∥CB交BC₁于点P，则A₁P⊥C₁D．（7分）
因为A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D?平面CC₁D₁D，
∴C₁D⊥A₁D₁，而QP∥CB，CB∥A₁D₁，∴QP∥A₁D₁，
又∵A₁D₁∩D₁Q=D₁，∴C₁D⊥平面A₁PQC₁，
且A₁P?平面A₁PQC₁，∴A₁P⊥C₁D．（10分）
∵△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，
∴

C1Q

D1C1

C1C

，∴C1Q=

又∵PQ∥BC，
∴PQ=

BC=1．
∵四边形A₁PQD₁为直角梯形，且高D1Q=

，
∴A1P=

(2?1)2+6

．（14分）