计算二重积分∫∫(x^2+y^2+x)dxdy,其中D为区域x^2+y^2<=1

2024-10-30 18:27:37

推荐回答（4个）

回答（1）：

具体回答如下：

用极坐标，x²+y²=2x的极坐标方程为：r=2cosθ

=∫[-π/2---->π/2] dθ∫[0---->2cosθ] rcosθ*rdr

=∫[-π/2---->π/2] cosθdθ∫[0---->2cosθ] r²dr

=∫[-π/2---->π/2] (cosθ)*(1/3)r³ |[0---->2cosθ] dθ

=(8/3)∫[-π/2---->π/2] cos⁴θ dθ

=(16/3)∫[0---->π/2] cos⁴θ dθ

=(16/3)∫[0---->π/2] [1/2(1+cos2θ)]² dθ

=(4/3)∫[0---->π/2] (1+cos2θ)² dθ

=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+cos²2θ) dθ

=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+1/2(1+cos4θ)) dθ

=(4/3)∫[0---->π/2] (3/2+2cos2θ+1/2cos4θ) dθ

=(4/3)(3/2θ+sin2θ+1/8sin4θ) |[0---->π/2]

=(4/3)(3/2)*(π/2)

=π

二重积分的意义：

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

回答（2）：

这是二重积分，要确定积分上下限。
积分区域的图形知道吧？是闭环域。
换成极坐标后，角度θ从0积到2∏，r从1积到2。
表达式为∫dθ∫lnr^2
rdr，注意要写积分上下限。
然后算2个定积分就行了。

回答（3）：

首先计算∫∫xdxdy，由于被积函数是关于x的奇函数，而积分区域关于y轴对称，所以∫∫xdxdy=0，原积分=∫∫(x^2+y^2)dxdy，用极坐标计算，=∫dθ∫r^3dr，（r积分限0到1，θ积分限0到2π）=2π/4=π/2

回答（4）：

由于被积函数是关于x的奇函数，而积分区域关于y轴对称，所以∫∫xdxdy=0，

原积分=∫∫(x^2+y^2)dxdy，用极坐标计算=∫dθ∫r^3dr，（r积分限0到1，θ积分限0到2π）=2π/4=π/2

扩展资料

数值意义