解：把圆的方程x²+y²=1改写成参数方程：x=cost，y=sint，dx=-sintdt，dy=costdt
S=(1/2)∮xdy-ydx
=(1/2)∫‹0，2π›(cos²t+sin²t)dt
=(1/2)∫‹0，2π›dt
=(1/2)t︱‹0，2π›
=π 故∮xdy-ydx
=2π
曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ，设构件的密度分布函数为ρ(x,y)，设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。
对于密度均匀的物件可以直接用ρV求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds；L是积分路径，∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。
曲线积分分为：
（1）对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）
（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）
设P＝
，Q＝y 2(x2+y2)
?x 2(x2+y2)
，
则
＝?P ?y
＝
x2?y2
2(x2+y2)2
，(x2+y2≠0)?Q ?x
作圆周l：x2+y2＝
，取逆时针方向，1 2
对L和l所围的区域应用格林公式：
∮ L
?ydx?xdy 2(x2+y2)
∮ l
＝0 ydx?xdy 2(x2+y2)
于是
∮ L
＝ydx?xdy 2(x2+y2)
∮ l
＝ydx?xdy 2(x2+y2)
ydx?xdy ∮ l
设D为l所围区域，由格林公式
ydx?xdy=∮ l
(?2)dxdy＝?π∫∫ D
∴
∮ L
＝?πydx?xdy 2(x2+y2)
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