已知关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a．（1）当a=2时，解上述不等式；（2）如果关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a

2024-11-20 23:38:18

推荐回答（1个）

回答（1）：

（1）原不等式|x-3|+|x-4|＜2
当x＜3时，原不等式化为7-2x＜2，解得 x＞

，∴

＜x＜3
当3≤x≤4时，原不等式化为1＜2，∴3≤x≤4
当x＞4时，原不等式化为2x-7＜2，解得 x＜

，∴ 4＜x＜

综上，原不等式解集为 {x|

＜x＜

} ；（5分）
（2）法一、作出y=|x-3|+|x-4|与y=a的图象，
若使|x-3|+|x-4|＜a解集为空集只须y=|x-3|+|x-4|图象在y=a的图象的上方，
或y=a与y=1重合，∴a≤1
所以，a的范围为（-∞，1]，（10分）
法二、：y=|x-3|+|x-4|=

当x≥4时，y≥1
当3≤x＜4时，y=1
当x＜3时，y＞1
综上y≥1，原问题等价为a≤[|x-3|+|x-4|]_min ∴a≤1（10分）
法三、：∵|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，
当且仅当（x-3）（x-4）≤0时，上式取等号
∴a≤1．