学习《数学分析课程》的心得及其领悟到的方法。

如何学好数学分析

刘轼波

数学分析是数学系最重要的课程。许多后续课程都以它为基础，例如常微分方程、偏微分方程、复变函数、实变函数，以及泛函分析。这些都属于分析数学的范畴。此外，作为几何学一分支的拓扑学，主要研究拓扑空间在连续映射下不变的性质，而连续映射是数学分析中研究的连续函数的推广。而当今数学研究中最重要的部门——微分几何，乃是在微积分对几何学的应用过程中发展起来的，因此也离不开数学分析的理论和方法。所以，要顺利完成数学系本科阶段的学习，学好数学分析非常重要。说得更长远一点，任何有志于从事数学研究的青年学子，好好掌握数学分析的理论和方法是关键的第一步。

要学好数学分析是没有捷径可走的。对其他课程，也是如此。如果真有这样的捷径，老师在上课时早就告诉大家了。这样的话，是否不必管太多，只管硬下功夫就可以了呢? 如果只是蛮干，是不会有好的结果的，而且会很累。我见过不少同学，书都读破了，书页上也写满了笔记或是在读书过程中的心得，看来还是很用功的。但是他跑来问我的问题却很简单，有些甚至在书上就有明白的解释。我把书翻给他看，他才恍然大悟。我想，这是由于他虽然花了很多时间，但却没有认真对以下要提到的几个方面进行思考。所以他对基本内容没有很深的印象。

下面我想就数学分析的学习，谈谈我的看法。一谈到数学的学习，很多人想到的就是要多做习题。但是，我认为最重要的还是要先仔细研读教科书，搞清楚每个定义和定理。在这个基础上适当做些习题才会事半功倍。没有弄清基本的概念，对学过的定理也没有吃透，就急急忙忙去做习题，必然会碰到很多困难，甚至会丧失自信心。这是一种不可取的学习方法。

首先，要彻底弄清楚接触到的每个定义。数学上的定义，都是从许多具体的事例中抽象出来的。这些定义虽然是具体事例的抽象，但却又是很自然的。我们在学习中要多思考，并且通过具体的例子来掌握各个定义的内涵。数学的定义中往往有各种各样的条件。对这些条件要仔细揣摩，体会它们的作用。有时还需要通过正反两方面的例子来辨析不同的概念。只有这样才能真正掌握，并能在推理中做到灵活运用。

其次，每学习一个定理时，就要从内涵上弄清这个定理的含义，即它到底说了什么事情。这往往可以结合几何直观来把握。然后就是研究定理中要求的条件。这可以通过研究定理的证明了解这些条件的作用，还可以通过反例来弄清当某个条件不成立时，结论为何不对。通过这样正反面的思考，就会对这个定理有比较好的理解。我见到很多数学系的学生，在解题时说“因为f是闭集F上的连续函数，所以f有界”。之所以犯这样的错误，就是因为没有很好地掌握“有界闭集上的连续函数必有界”这个定理。

再者，定理的证明也值得我们好好研究。通过研读定理的证明，可以加深我们对这个定理的理解。而且，在定理的证明过程中我们还可以学习到本学科的各种基本的论证方法。熟悉这些方法之后，我们就自然能够把它们应用到我们面临的问题中去。有些定理的证明是很漂亮的，充分展现了数学的美。我们在学习过程中还要好好体会这种美，这对提高我们的数学素养不无益处。当然，有些定理的证明比较繁难，为了不打击自信心，我们可以先跳过它，等过后有机会再回来研究它。事实上，有些定理本身很重要，但它的证明却未必非常重要。关于这一点，大家可以去看伍洪熙先生在北京大学出版社出版的《黎曼几何初步》前面的“致读者的话”第iv页关于弧长的二次变分公式的叙述。这整篇“致读者的话”对学数学的人都是很有启发性的。

另外，学了一个定理后，一个很重要的方面就是如何把它应用到各种问题中去。这甚至比定理本身的证明更为重要。设想，如果你由一个定理推出一些有趣的结论，那你一定会觉得这个定理妙不可言。数学分析中的许多定理都有很直观的几何意义。许多证明题，如果从几何直观上看就很好理解。这样的几何直观往往会启发我们发现解题的思路。

我们还可以从全局的角度来看我们学过的定理，看它和数学分析中的其它定理有什么联系。比方说为什么需要这个定理? 想象一下，如果没有闭区间上连续函数的性质的各个定理，整个数学分析的理论会是什么样子。把各个定义、定理联系起来，在我们的头脑中形成一个有机的网络，我们在解决问题时才能更灵活地运用所掌握的知识。

在牢固地掌握了各个定义和定理后。一定要做一些习题，以加深理解。好的教科书每节后面的习题都是对本节所学知识的运用。做这些习题有助于更好地掌握该节的内容。做习题的过程也是对自己的一种训练，这是做习题的另一个目的。正如长期的体育锻炼会使身体逐渐强壮一样，坚持做习题，分析问题和解决问题的能力就会逐渐提高。

数学分析的习题，灵活性比较强。我们常常有面对一个问题却束手无策的经历。这是很正常的现象，千万不要失去信心。这是由于我们的阅历比较少的原因。现在出版了不少解题指南之类的参考书。这些书上有很多很典型的例题，有些是很有启发性的。大家可以根据自身情况选读一些。不过，每道好的习题都是非常珍贵的。如果遇到题目，没有经过深入的思考就急于去看答案，那么你虽然也知道这道题乃至这类题的解法，但却失去了一次独立思考的机会。这道题就被你浪费掉了。所以，对于习题大家一定要独立思考(也可以几个同学一起讨论)，实在做不出来再去看答案，并认真总结自己失败的原因。对于参考书中的例题，如果时间允许，也应先自己试做一下。如果没有试做参考书中的例题，就一定要选做它里面的一些习题。

最后，数学分析的内容非常丰富，它跟后续的许多课程有着密切的联系。我们在后续课程的学习中，有时还应该回来看看数学分析中的有关内容，厘清它们之间的联系。这对更好地掌握数学分析，以及后续课程的学习，都有好处。

以上是一个老师的一篇文章，楼主稍微改动一下，应该可以满足要求了。

虽然是网上找的，但是很精心挑选了。希望可以帮助到你O(∩_∩)O~

我们应用数学系的分析类课程有如下三门：数学分析、复变函数和实变函数。这三门中，以数学分析为基础，同时，它也是大家刚进大学学的第一门数学基础课，所以比较重要，学好它，对日后学习复变函数是大有裨益的。所以我就先从数学分析开始入手介绍。 　　数学分析：大家用的教材想必是华东师大的第三版吧！这套教材总的来说还是不错的，对于我们数学系的学生而言，大家应该首先看透课本，比如一提到某一概念，大家应在脑海中立马反映出它的定义以及与之相关的定理和推论，并且能够知晓定理和推论的证明，这是第一步；第二步，那就是习题了，习题分为三个部分：文中的习题、课后的横线上的习题和课后横线下的习题。对于社会型或恋爱型或学习型中将来不研究数学的同学，文中的习题和课后的横线上的习题是最好全做，这样就对数学分析的课程有了一个大致的了解，这就足够了；对于学习型中立志于学数学的人来说，那么横线下的题目就得要做了，尽量全做。大家手头上都有参考答案，如实在做不出，就看看参考答案，但切记千万别单纯一味的背答案，要理解的看答案，发掘答案中有没有什么新的技巧和方法，然后将它融会贯通，成为自己的东西。其实大家在解题目时，就是搜索自己在脑海中储备的解法有没有适于这道题目，如有，此题就迎刃而解；若无，此题就无从下手，所以大家看参考答案就是应当想着增加自己脑海中解法的储备，从而通过题目来加深对书中概念的理解。在学好我们的教材后，大家有兴趣的话，我推荐几本额外的教材，供大家学习： 　　1、《数学分析新讲》共三册张筑生编北大出版社 　　2、《数学分析教材》共两册常庚哲史济怀编高教出版社 　　3、《数学分析解题指南》林源渠方企勤编北大出版社 　　4、《数学分析习题课讲义》共两册有四个人编高教出版社 　　5、《数学分析的典型例题和方法》第二版裴礼文编高教出版社 　　6、《Principles of Mathematical Analysis》 3rd by Walter Rudin 机械工业出版社影印 　　7、《Mathematical Analysis》 by Zorich 世界图书出版社影印 　　以上我推荐的图书有中文有英文，看透它们，那你的数学分析可真是学到家了，其中第7本中还有实变函数的知识，所以在此推荐它们。特别不推荐吉米多维奇的习题集，哪怕你去网吧包夜也别做它，除非你很无聊。 　　复变函数：一般来说复变函数可以看成数学分析课程的延伸，所以这门课的学习方法与数学分析基本一致，在此我就推荐几本书吧： 　　1、《复变函数论》第三版钟玉泉编高教出版社 　　2、《复变函数教程》方企勤编北大出版社 　　3、《简明复分析》龚升编北大出版社（此书观点较高，可在看完前两本再看） 　　4、《Complex Analysis》3rd by Lars Ahlfors　机械工业出版社影印 　　实变函数：这门课是比较难的一门课，但并非不可逾越。我们用的教材实程其襄编的《实变函数与泛函分析基础》，这本书的难度偏低，很适合于自学和入门的新手，要好好读一读，并努力的完成课后习题（该书有习题解答，不会做时，可以参考一下），完成了这本书，你的实变函数的水平就已经达到中等的水平了，若要继续学习，可以参见一下几本书： 　　1、《实变函数论》第二版周民强编北大出版社 　　2、《实变函数论》第二版徐森林编中科大出版社（这本书有不少测度论的知识，可以加深大家对概率论的理解） 　　3、《Real Analysis》 3rd　by H．L． Royden　机械工业出版社影印 　　另外有一些推荐书目： 　　1、《常微分方程教程》第二版丁同仁李承治编高教出版社

哈哈，数学分析！这可是大学数学专业学生的神级书本之一（另一本是高等代数）。
首先作为一个大二数学专业学生，说说心得吧。总结起来就是你在上完这门课之前永远别认为自己已经理解了其中的定义、定理、证明，题目你可以最对，但说到真正理解数学分析里的内涵还真是需要时间。为什么这么说呢，因为现在我也经学完了这本书，当时觉得还不算难，就是一些最基本的东西，然而现在我在学习数学专业其他课程的时候发现数学分析里面的定义定理真是其次，这门课里面蕴含是数学思想才是最重要的，所以这门课的证明部分特别重要。不要觉得只要记住了定理，知道怎么用就行了，那样的话你永远不能真正的学懂数学分析。
好吧，一下子扯的有点多，下面说说方法。在我看来如果只是应付考试，那你直接多看定理多练题就行，如果你认真的话90、100都没问题；但是如果真的对数学有兴趣，那你一定要学会记住定义，学会证明书上的定理，最后就是看数学分析的目录，能够口述出来每一个章节都在干什么，只有这样才能体会到数学的美妙之处。这个过程可能会很枯燥，可能一刚开始有兴趣，但学了几天就萎了，但是数学的学习就是这样，不过在枯燥无味的定理最后一定会用于生活！这个好像是某一个大家说的，这里套用一下。

这个，对于常常挂科的俺，本不应该来回答的。
但是，你要知道不挂科的大学不是完整的大学。
还有，这门课是天书级别的，学不好正常，不过，不要灰心。建议多做一些动手的智力游戏。比如魔方，比如转笔。可以开发逻辑思维。
还有建议看看侦探方面的书，既不使学习变得枯燥，又可以锻炼推理能力。对证明题大有裨益。
还有，我特意问过一个学霸，她说，去图书馆自习是提高学习效率的好方法。
对于那些个请教专家，我也干过这种傻事。完全就是敷衍，不会有那种醍醐灌顶的感觉。
不过，对于你这样有心向学的人，挂科很难。（虽说数学分析挂科率很高的说。那也是挂我们这种不思进取的人。哈哈，见笑）
楼主加油，要有必过的决心。
谢谢（纯属原创，不知可有加印象分？）。

数学分析基本内容是微积分，但是与微积分有很大的差别。
微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，微积分理论从其产生之日起就显示了巨大的应用活力，所以在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法