简谐运动 钟摆的位移与时间方程如何证明?

2024-12-02 05:31:33
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微元法,成立条件:摆幅非常小,相对于摆线长度(半径r)可以忽略不计
这样钟摆就在X轴上运动,受力F=k*x k=mg/r 因为 F=m*a
所以 a=x*g/r (1)
a 为 x相对于t的二次导数(加速度是位移相对于时间的二次导数,牛顿的定义) (2)

(1)(2)联立得到关于x的二次常微分方程,解得
x=Asin【sqr(g/r)t + C】 (3)
其中sqr(g/r)为g/r的平方根,A和c为待定常量需要初始条件界定,A为振动的幅度
从(3)可以看出这是个周期运动,运动周期为 2*pi / sqr(g/r)

再次说明注意前提条件:摆幅非常小,相对于摆线长度(半径r)可以忽略不计,这样才可以使用微元法