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“两个同型矩阵等价的充要条件是两个矩阵的秩相等”这句话对吗？为什么？

2024-10-30 14:24:03

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回答（1）：

对的。

矩阵等价的定义：若存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B，则A与B等价。所谓矩阵A与矩阵B等价，即A经过初等变换可得到B。

充分性：经过初等变换，秩是不改变的，即R(A)=R(PAQ)=R(B)。

必要性：设R(A)=R(B)=m,则A经过初等变换一定能化成最简型矩阵，这个最简型矩阵记作C。 C的秩为m。同样，B矩阵经过初等变换能化成一个最简型矩阵，因为B的秩是m，所以B化成的最简型也是C。也就是说，A与C等价，B与C等价，所以，A与B也等价。

回答（2）：

对的。
矩阵等价的定义：若存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B，则A与B等价。所谓矩阵A与矩阵B等价，即A经过初等变换可得到B。
充分性：经过初等变换，秩是不改变的，即R(A)=R(PAQ)=R(B)。
必要性：设R(A)=R(B)=m,则A经过初等变换一定能化成最简型矩阵，这个最简型矩阵记作C。 C的秩为m。同样，B矩阵经过初等变换能化成一个最简型矩阵，因为B的秩是m，所以B化成的最简型也是C。也就是说，A与C等价，B与C等价，所以，A与B也等价。