f（x）=|xex|=
xex (x≥0) ?xex(x＜0)
当x≥0时，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，f′（x）=-ex-xex=-ex（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=-ex（x+1）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（-1，0）时，f′（x）=-ex（x+1）＜0，f（x）为减函数，
所以函数f（x）=|xex|在（-∞，0）上有一个最大值为f（-1）=-（-1）e-1=
，1 e
要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，
令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在(0，
)内，一个根在(1 e
，+∞)内，1 e
再令g（m）=m2+tm+1，
因为g（0）=1＞0，
则只需g（
）＜0，即(1 e
)2+1 e
t+1＜0，解得：t＜-1 e
．
e2+1 e
所以，使得函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围
是(?∞，?
)．
e2+1 e
故答案为(?∞，?
)．
e2+1 e
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