58问答库 > 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少相同的项？并求所有相同项的和

已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少相同的项？并求所有相同项的和

2024-12-05 14:55:09

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回答（1）：

解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a_n }，则a₁ =11．
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{a_n }的公差d=3×4=12，
∴a_n =12n-1．
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴a_n =12n-1≤302，即n≤25.5．
又∵n∈N^* ，
∴两个数列有25个相同的项．
其和S₂₅ =11×25+

25×24

×12=3875．
解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{a_n }与{b_n }，则a_n =3n+2，b_n =4n-1．
设{a_n }中的第n项与{b_n }中的第m项相同，
即3n+2=4m-1，∴n=

m-1．
又m、n∈N^* ，∴设m=3r（r∈N^* ），
得n=4r-1．
根据题意得

1≤3r≤100

1≤4r-1≤100

解得1≤r≤25（r∈N^* ）．
从而有25个相同的项，且公差为12，
其和S₂₅ =11×25+

25×24

×12=3875．