历年中考数学压轴题

2002　　已知二次函数y1=x2-2x-3　　（1）结合y1的图象，确定当x取何值时，y1>0，y1=0，y1<0。　　（2）由（1）的结论确定y2=■（|y1|-y1）关于x的解析式。　　（3）若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y2的图象交于不同的三个点，确定实数k、b满足的条件。　　[思路点拨]（1）利用数形结合思想，考查了一元二次不等式和一元二次方程。x2-2x-3>0，x2-2x-3=0，x2-2x-3<0。（2）分段讨论|y1|=y1（x≤-1或x≥3）；|y1|=-y1（-1　　解：（1）y1=x2-2x-3，令y1=0　　∴x2-2x-3=0 x1=-1，x2=3　　∴当y1=0时，x=-1或x=3　　当y1>0时，x<-1或x>3　　当y1<0时，-1　　（2）当x≤-1或x≥3时，y1≥0，|y1|=y1　　∴y2=x2-2x-3-x2+2x+3=0（x轴）　　当-1　　∴y2=■（-2y1）=-y1=-x2+2x+3　　（3）要使直线与抛物线有三个不同交点，则只需一次函数与y=-x2+2x+3在-1　　y=kx+b　　y2=-x2+2x+3，整理x2+（k-2）x+（b-3）=0……（*），必须满足　　△>0……①　　-1<-■<3……②　　当x1=-1时y>0……③　　当x=3时y>0……④　　由① b<■（k-2）2+3　　由② -4　　由③④ b>k　　b>-3k　　当k>0时 当k<0时　　b>k　　b>-3k　　　　综上所述　　-4　　-3k　　或 0　　k　　[归纳点评]此题的难点为一般直线和抛物线相交有两个或一个或0个交点，如何有三个交点呢？就是因为它是一个分段函数，当x≤-1或x≥3时，y2=0是x轴，此直线与x轴必有一个交点，外加与抛物线的两个交点所以有三个交点，写k、b满足条件时最好画数轴。　　2003　　关于x的方程x2-（p+q+1）x+p=0（q≥0）的二根为α、β，且α<β　　（1）用含α、β的代数式表示p、q　　（2）求证α≤1≤β　　（3）若以α、β为坐标，M（α、β）在△ABC三边上移动且△ABC中A（1，2），B（■，1），C（1，1），问是否存在M，使p+q=■。若存在，求M的坐标，若不存在，说明理由。　　[思路点拨]（1）由根与系数的关系x1+x2=-■，x1·x2=■（2）由一根大于等于1，一根小于等于1，需要证明（x1-1）（x2-1）≤0，即x1x2-（x1+x2）+1≤0，把两根积与和代入，得出-q≤0 （3）分类讨论：①当M在BC边上时，利用p+q=■，分别求出α、β值再检验。②当M在AC边上时同法，得出α、β值检验。③当M在AB边上，求出直线AB解析式，再把点代入即可。　　解：（1）由根与系数的关系　　α+β=p+q+1　　α·β=p　　∴p=αβ，q=α+β-αβ-1　　（2）由（α-1）（β-1）=αβ-（α+β）+1=p-p-q-1+1=-q<0（因为q≥0）　　即（α-1）（β-1）≤0 ∴α≤1≤β　　（3）1°当M（α、β）在BC边上时　　∵B（■，1），C（1，1）　　∴■≤α≤1　　∵β=1，又∵p+q=α+β-1=■　　∴α+1-1=■，α=■>1　　∴BC边上不存在M　　2°当M（α、β）在AC边上，A（1，2），C（1，1）得α=1，1≤β≤2　　由α+β-1=■ ∴β=1-α+■=■　　∴1≤■≤2满足条件　　∴AC边上存在点M（1，■）　　3°当M在AB边上时，A（1，2）， B（■，1）　　∴直线AB：y=2x，设M（α，2α）　　又∵p+q=α+β-1=■　　∴α+2α=■，α=■　　β=2α=■ ∴M（■，■）　　∴在△ABC的AC边和AB边存在M（1，■）和M（■，■）　　[归纳点评]此题难点在第（2）问，若使α≤1≤β，则必有（α-1）（β-1）≤0，第（3）问求AB上的点采用求直线AB的解析式比较简便，减少运算量节省了时间。　　2004　　已知函数y1=2x，y2=x2+1　　（1）根据表中的x值计算y1、y2的值。　　（2）观察（1）中的表在实数范围内对于x的同一个值，这两个函数对应的值y1≤y2成立。　　（3）试问是否存在y3=ax2+bx+c过（-5，2），且在实数范围内对于同一个x值对应的y1≤y3≤y2均成立，若存在求y3，若不存在说明理由。　　[思路点拨]（1）代入求值（2）利用比差法看y1-y2的值（3）关键求出a的值，根据条件求出b、c用a表示，把点（-5，2）代入可得一个关系式25a-5b+c=0，再由对于同一x值有y1≤y3≤y2，得a+b+c=2，从而用a表示b、c，再由y1≤y3，y3≤y2定出a的值。　　解：（1）填表　　　　（2）y1-y2=2x-x2-1=-（x-1）2≤0　　∴无论x为何实数均有y1≤y2　　（3）把点（-5，2）代入y3=ax2+bx+c得　　25a-5b+c=2……①　　∵对于x的同一个值，有y1≤y3≤y2，即当x=1时，y1=2≤a+b+c≤2=y2　　∴a+b+c=2……②　　由①②得b=4a，c=2-5a　　∴y3=ax2+4ax+（2-5a）　　由已知y1≤y3　　∴2x≤ax2+4ax+（2-5a）　　整理：ax2+（4a-2）x+（2-5a）≥0　　a>0　　△≤0 　　∴△=（4a-2）2-4a（2-5a）≤0　　∴（3a-1）2≤0 ∴a=■　　又由已知y3≤y2　　∴ax2+4ax+（2-5a）≤x2+1　　整理：（a-1）x2+4ax+（1-5a）≤0　　a-1<0　　△≤0　　△=（4a）2-4（a-1）（1-5a）≤0　　∴（3a-1）2≤0　　∴3a-1=0　　a=■ ∵a<1 ∴a=■　　综上所述y3=■x2+■x+■即为所求。　　[归纳点评]此题难点在第（3），第一个a、b、c的关系式比较简单，直接把点代入，而第二个关系式是由表中看出，当x=1时，y1=y2=2，而y3夹在中间，从而可得a+b+c=2，由y1≤y3求出a的值，再由y3≤y2求出a的值，均为■。　　2005　　已知二次函数y=ax2+bx+c　　（1）若a=2，c=-3，且二次函数过（-1，-2），求b　　（2）若a=2，b+c=-2，b>c过（p，-2）点，求证b≥0　　（3）若a+b+c=0，a>b>c，且过（q，-a），试问当自变量x=q+4时y=ax2+bx+c所对应的函数值是否大于0，并证明结论　　[思路点拨]（1）把值分别代入即可求b的值。　　（2）把已知条件代入解析式得关于p的方程，再利用“△”讨论b的范围从而证得b≥0。　　（3）由a+b+c=0知二次方程 ax2+bx+c=0必有一根为1，由根与系数的关系可求出q+4的取值范围。再把点（q，-a）代入抛物线解析式，由△≥0可得a>b≥0，从而可求出当x=q+4时y>0。　　解：（1）当a=2，c=-3，y=2x2+bx-3，又过（-1，-2）点 ∴b=1　　（2）当a=2，b+c=-2，二次函数化为y=2x2+bx-（b+2）过（p，-2），把点代入得2p2+bp-b=0 ∴p是此方程的根　　△=b2+8b=b（b+8）　　又 b+c=-2　　b>c　　∴b>-b-2　　∴b>-1　　∴b+8>0 ∴b≥0　　（3）由 a+b+c=0 　　a>b>c ∴a>0，c<0　　又知ax2+bx+c=0有一根为1，由根与系数关系　　x1+x2=-■　　x1·x2=■　　不妨设x1=1　　∴x2=■ 又∵过（q，-a）点　　当x=q时，y=-a<0 ∴■　　∴■+4　　再把点（q，-a）代入抛物线y=ax2+bx+c得aq2+bq+c+a=0 （q为方程的根）　　∴△=b2-4a（a+c）=b2-4a（-b）=b2+4ab=b（b+4a）=b（3a-c）≥0　　a>0　　c<0　　∴b≥0 ∵a>b≥0　　2a≥a+b=-c　　2a>-c　　∴■>-2　　∴■+4>-2+4=2>1　　∴q+4>1　　∴当x=q+4时，y的值大于0　　[归纳点评]难点在（3）采用了数形结合思想，把点（q，-a）代入解析式，当x=q时y=-a<0（∵a>0）　　∴可知y的值在x轴下方　　即x21，则y>0。　　2006　　已知抛物线y=ax2+bx+c顶点为（2，4）　　（1）试用含a的代数式表示b、c。　　（2）若直线y=kx+4（k≠0）与y轴及抛物线依次交于D、E、F且　　S△ODE:S△OEF=1:3，O为坐标原点，试用含a的代数式表示k。　　（3）在（2）的条件下若线段EF的长为m，且满足3■≤m≤3■，试确定a的取值范围。　　[思路点拨]（1）把顶点代入即可求得b=-4a，c=4a+4（2）直线和抛物线相交联立解方程组设出E、F的坐标，把面积比S△ODE:S△OEF=1:3可化为xE:xF=1:4，从而确定k的值。　　（3）分类讨论，由（2）得k=a或k=-9a，m2=EF2=（xE-xF）2+（yE-yF）2代入3■≤m≤3■，从而定出a的范围。　　解：（1）∵顶点为（2，4），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+4=ax2-4ax+4a+4　　∴b=-4a，c=4a+4　　（2）直线与抛物线相交　　y=kx+4　　y=ax2-4ax+4a+4　　整理：ax2-（4a+k）x+4a=0……（*）　　设E（xE，yE），F（xF，yF）　　xE+xF=■……①　　xE·xF=4……②　　由②知xE、xF同号　　S△ODE：S△OEF=1：3即S△ODE：S△ODF=1：4　　■OD·|xE|:■OD·|xF|=1：4　　∴xE:xF=1:4，把xF=4xE代入②　　解得xF=4，xE=1或xF=-4，xE=-1　　∴由①■=±5　　∴k=a或k=-9a　　经检验k=a，k=-9a，△>0，是方程（*）的根。　　（3）由勾股定理m2=（xF-xE）2+（yF-yE）2　　而（xF-xE）2=9　　由yF=kxF+4，yE=kxE+4得（yF-yE）2=k2（xF-xE）2=9k2　　∴m2=9（1+k2） ∴m=3■　　由已知3■≤m≤3■　　∴■≤■≤■，即1≤k2≤4　　∴1≤k≤2或-2≤k≤-1　　当k=a时，有1≤a≤2或-2≤a≤-1　　当k=-9a时有1≤-9a≤2或-2≤-9a≤-1　　即-■≤a≤-■，或■≤a≤■　　[归纳点评]第（2）还可以用两点间距离公式，有E（xE，yE），F（xF，yF），则m=EF=■，直接代入3■≤m≤3■，可求a的范围。　　2007　　已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=x有两个实数根x1、x2，且满足x1>0，x2-x1>1　　（1）证明c>0　　（2）证明b2>2（b+2c）　　（3）对于二次函数y=x2+bx+c，若自变量取值为x0，其对应的值为y0，当0　　[思路点拨]（1）把方程化为一般式，再由根与系数的关系及已知条件可得c>0（2）由根的判别式△>0可得（3）把（x0，y0）代入抛物线解析式，把x1代入方程，再用比差法即y0-x1的正负来确定。　　解：（1）把方程化为x2+（b-1）x+c=0　　x1+x2=1-b，x1·x2=c……①　　由已知x1>0，x2-x1>1　　∴x2>x1+1>0……②　　由①②知c>0　　（2）方程x2+（b-1）x+c=0　　x1、x2为不等实根　　∴△=（b-1）2-4c>0　　b2>2b+4c=2（b+2c）　　（3）当0x1　　把（x0，y0）代入抛物线解析式y0=x02+bx0+c　　把x1代入方程x1=x12+bx1+c　　y0-x1=x02-x12+b（x0-x1）=（x0-x1）（x0+x1+b）　　由已知x0　　又∵x2-x1>1 ∴x2>x1+1　　两边同加x1得　　x1+x2>2x1+1（x1+x2=1-b）　　∴1-b>2x1+1，2x1+b<0（∵0　　∴y0-x1>0 ∴y0>x1　　[归纳点评]第（2）问可采用2007年标答上的方法，同学们对照看哪种简单，第（3）问用比差法。　　以上是我们对压轴题的分析，有的采用了与标答不同的解法，仅供参考。　　∴　　{　　{　　∴b>k　　{　　{　　{　　{　　{　　∴b>-3k　　b>k　　b>-3k 　　x -3 -2 -1 0 1 2 3　　y1=2x -6 -4 -2 0 2 4 6　　y2=x2+1 10 5 2 1 2 5 10　　x -3 -2 -1 0 1 2 3　　y1=2x　　y2=x2+1　　∴　　{　　∴　　{　　{　　{　　∵　　{　　∵　　{　　{　　∴3a-c>0　　∴

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在数轴上作图形，可能带有函数和动点