58问答库 > 证明：矩阵A与A的转置A✀的乘积的秩等于A的秩，即r(AA✀)=r(A).

证明：矩阵A与A的转置A✀的乘积的秩等于A的秩，即r(AA✀)=r(A).

2024-11-15 15:56:20

推荐回答（2个）

回答（1）：

设
A是
m×n
的矩阵。
可以通过证明
Ax=0
和A'Ax=0
两个n元齐次方程同解证得
r(A'A)=r(A)
1、Ax=0
肯定是
A'Ax=0
的解，好理解。
2、A'Ax=0
→
x'A'Ax=0
→
(Ax)'
Ax=0
→Ax=0
故两个方程是同解的。
同理可得
r(AA')=r(A')
另外
有
r(A)=r(A')
所以综上
r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)

回答（2）：

这个样子可能可以：
A=PEQ
其中E是A的标准型,P,Q为可逆矩阵
那么A'=Q'E'P';
所以AA'=PEQQ'E'P';
设QQ'=(X
Y)
(Z
W)
其中X为r*r的矩阵且其轶也为r，因为它是可逆矩阵的一个分块。
所以上式可以化简为：
AA'=P(X
O)Q
(0
0)
而PQ都是可逆的，所以
r(AA')=r(X
O)
(0
0)
所以它就等于r。
可能看起来比较不爽，可是我也打不出来比较好的效果，凑和看吧。
也可能有比较简单的方法。就这样吧。