求三棱锥内切球半径---R=3V⼀S(这公式怎么推导出来的?)

2024-11-15 18:01:28

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回答（1）：

设内切球球心为 O ，则 O 到三棱锥四个面中的任一个，距离为 R 。
由 O 为顶点，分别以三棱锥的四个面为底面，得到四个小三棱锥，则高均为 R ，底面面积总和为 S ，体积和为 V 。
V = V1 + V2 + V3 + V4
V = R*S1/3 + R*S2/3 + R*S3/3 + R*S4/3
V = R*S/3

所以 R = 3V/S 。

回答（2）：

首先，我们先明确公式中的V 是指三棱锥的体积，S 是指三棱锥的表面积之和。其实推导过程很简单，就是用等体积法，假设三棱锥A-BCD，内切球心为O，则O-ABC的体积加上O-ABD的体积加上O-ADC的体积加上O-BCD的体积等于A-BCD的体积，即1/3R*S(ABC)+1/3R*S(ABD)+1/3R*S(ACD)+1/3*S(BCD)=V，化简得1/3R*S=V，即R=3V/S。

回答（3）：

可以这样推：假设正三棱锥各个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，体积为V，内切圆半径是R，以内切圆圆心来顶点和各个底面可以构成另外小的四个三棱锥，体积分别为V1、V2、V3、V4，而V=V1+V2+V3+V4=（S1*R+S2*R+S3*R+S4*R）/3，又S=S1+S2+S3+S4，所以R=3V/S。