设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）两点在抛物线y=2x 2 上，l是AB的垂直平分线，（Ⅰ）当且仅当x 1 +x 2

2024-12-03 12:05:08

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回答（1）：

（Ⅰ）∵抛物线y=2x² ，即 x 2 =

，∴ p=

，
∴焦点为 F(0，

) （1分）
（1）直线l的斜率不存在时，显然有x₁ +x₂ =0（3分）
（2）直线l的斜率存在时，设为k，截距为b
即直线l：y=kx+b
由已知得：

y 1 + y 2

=k?

x 1 + x 2

y 1 - y 2

x 1 - x 2

（5分） ?

=k?

x 1 + x 2

x 1 - x 2

=k?

x 1 + x 2

x 1 + x 2 =-

（7分） ?

+b≥0 ?b≥

即l的斜率存在时，不可能经过焦点 F(0，

) （8分）
所以当且仅当x₁ +x₂ =0时，直线l经过抛物线的焦点F（9分）
（Ⅱ）当x₁ =1，x₂ =-3时，
直线l的斜率显然存在，设为l：y=kx+b（10分）
则由（Ⅰ）得：

=k?

x 1 + x 2

x 1 + x 2 =-

x 1 + x 2

+b=10

=-2

（11分） ?

（13分）
所以直线l的方程为 y=

，即x-4y+41=0（14分）