58问答库 > 设函数f（x）=x 2 e x-1 +ax 3 +bx 2 （其中e是自然对数的底数），已知x=-2和x=1为函数f（x）的极值点．

设函数f（x）=x 2 e x-1 +ax 3 +bx 2 （其中e是自然对数的底数），已知x=-2和x=1为函数f（x）的极值点．

2024-12-04 08:46:26

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回答（1）：

（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=（x² +2x）e^x-1 +3ax² +2bx，…（1分）
∵x=-2和x=1为函数f（x）的极值点，
∴f′（-2）=f′（1）=0，…（2分）
即

-6a+2b=0

3+3a+2b=0

，解得

a=-

b=-1

，…（3分）
所以， a=-

，b=-1．…（4分）
（Ⅱ）∵ a=-

，b=-1，∴f′（x）=（x² +2x）e^x-1 -x² -2x=（x² +2x）（e^x-1 -1），…（5分）
令f′（x）=0，解得x₁ =-2，x₂ =0，x₃ =1，…（6分）
∵令f′（x）＜0，可得x∈（-∞，-2）∪（0，1），令f′（x）＞0，可得x∈（-2，0）∪（1，+∞），…（8分）
∴f（x）在区间（-2，0）和（1，+∞）上是单调递增的，在区间（-∞，-2）和（0，1）上是单调递减的．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得 f(x)= x 2 e x-1 -

x 3 - x 2 ，由（Ⅱ）得函数的极大值为f（x）_极大值 =f（0）=0，…（10分）
函数的极小值为f（x）_极小值 =f（-2）=

e 3

，和f（x）_极小值 =f（1）=-

…（11分）
又

e 3

＜-

，…（12分）
f（-3）=（-3）² e^-4 +9-9=9e^-4 ＞0，f（3）=3² e² -9-9=9（e² -2）＞0，…（13分）
通过上面的分析可知，当M∈ (-

，0) 时方程f（x）=M恰有4个不等的实数根．
所以存在实数M，使方程f（x）=M有4个根，其M取值范围为 (-

，0) ．…（14分）