成为对偶基的线性函数需满足什么条件

证明线性函数成为对偶基的充分必要条件

2025-04-08 06:57:48

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二、《高等代数》考试大纲一、考试内容（一）线性方程组1.数域及其基本性质。2.Gauss消元法解线性方程组，线性方程组解的判定。3.线性方程组的系数矩阵、增广矩阵，矩阵的初等变换与Gauss消元法。4.Cramer法则。5.齐次线性方程组的解空间及其维数、基础解系和通解。6.非齐次线性方程组的导出组、特解和通解。（二）行列式1. -排列，逆序及逆序数，对换。2.行列式的定义。3.行列式的基本性质。4.行列式按某一行（列）的展开公式，范德蒙德行列式。5.Laplace定理。6.矩阵乘积的行列式。（三）矩阵 1.矩阵及其转置、加法、数乘和乘积等运算及运算规律，对称矩阵。2.矩阵的秩，矩阵的等价关系、等价标准形和等价类，线性方程组的解与系数矩阵的秩，矩阵的运算与矩阵的秩。3.矩阵的逆，伴随矩阵，求逆矩阵，满秩矩阵。4.初等矩阵及其基本性质，初等矩阵与初等变换的关系，初等矩阵与矩阵的秩的关系，初等矩阵与可逆矩阵的关系。5.分块矩阵及其运算，分块矩阵的初等变换，分块矩阵的秩与逆。（四）线性空间1.集合，映射与运算及其基本性质。2.线性空间定义与简单性质。3.线性组合，线性表示，线性相关性。4.等价向量组，极大线性无关组和向量组的秩，向量组的秩和矩阵的秩的关系。5.基与维数，坐标，基变换与坐标变换，过渡矩阵。6.线性子空间，及其基与维数。7.子空间的交与和，维数公式，直和，补空间。（五）欧氏空间1.内积，欧氏空间，度量矩阵，向量的长度和夹角，单位向量，正交。2.标准正交基，基的扩充，基的改造（Schmidt正交化过程），正交矩阵。3.子空间的正交，正交和，正交补，投影。4.向量到子空间的距离，最小二乘法问题。5.酉内积，酉空间及其标准正交基。（六）线性映射与线性变换1.线性映射（变换）及其运算，线性映射（变换）的矩阵。2.线性映射的像（值域）与核及其维数，同构。3.商空间。4.正交映射（变换），欧氏空间的同构，正交变换及与正交阵，镜面反射。（七）二次型1.二次型及其标准形，（非退化）线性替换，配方法。2.二次型的矩阵，矩阵合同及合同标准形，二次型的秩。3.实二次型与正交替换。4.复二次型的规范形，惯性定理与实二次型（实对称矩阵）的规范形。5.正（负）定二次型，正（负）定矩阵，半正（负）定二次型，半正（负）定矩阵，矩阵的顺序主子式。（八）多项式1.一元多项式（函数），一元多项式的运算及其运算律，整除，带余除法，（最大）公因式，辗转相除法，互素（互质），不可约多项式，根，最小（极小）多项式，复（实、有理）多项式的因式分解。2.多元多项式（函数），多元多项式的运算及其运算律，字典排序法，齐次多项式，Vieta定理，（初等）对称多项式，一元多项式的判别式。3.二元高次方程组的求解。（九）特征值与特征向量相似矩阵1.线性变换（矩阵）的特征值与特征向量，特征多项式，特征子空间。2.矩阵相似，相似标准形与相似对角化。3.实对称矩阵的相似对角化。4.线性变换的不变子空间与根子空间，限制变换，不变子空间与特征向量的关系。5.复方阵的Jordan标准形及其存在性和唯一性。6.矩阵（线性变换）的最小多项式，最小多项式与相似对角化。（十） -矩阵1. -矩阵及其秩、逆、伴随矩阵、初等矩阵、等价、等价标准形、行列式因子、不变因子、初等因子。2.数字矩阵的特征矩阵、行列式因子、不变因子、初等因子及其应用。（十一）双线性函数1.线性函数及其运算。2.对偶空间，对偶基及过渡矩阵，对偶映射。3.双线性函数及其度量矩阵，非退化双线性函数，（反）对称双线性函数，非退化对称双线性函数与欧氏空间的内积的关系。4.双线性度量空间、正交空间、准欧氏空间、辛空间的基本概念和相互关系。二、参考书目1.李方、黄正达等编著，《高等代数》（上、下），浙江大学出版社。2.许以超编著，《线性代数与矩阵论》，高等教育出版社，19923.北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，《高等代数》（第三版），高等教育出版社，2003年。4.姚慕生编著，《高等代数学》，复旦大学出版社，2002年。5.刘仲奎等编著，《高等代数》，高等教育出版社，2003年。6.郭聿琦等编著，《线性代数引论》，科学出版社，2003年。7.David C. Lay编著,沈复兴等译，《线性代数及其应用》，人民邮电出版社，2007年。8.居余马，李海中编著，《大学数学——代数与几何(第2版)》。

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