58问答库 > 设P（a，b）是直线y=-x上的点，若对曲线y=1x（x＞0）上的任意一点Q恒有|PQ|≥3，则实数a的取值范围是____

设P（a，b）是直线y=-x上的点，若对曲线y=1x（x＞0）上的任意一点Q恒有|PQ|≥3，则实数a的取值范围是____

2025-03-20 03:10:21

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回答（1）：

∵P（a，b）是直线y=-x上的点，∴b=-a．∴P（a，-a）．
设Q（x，

1

x

）（x＞0），则|PQ|=
(x?a)2+(

1

x

+a)2
=

x2+

1

x2

?2ax+

2a

x

+2a2
=
(x?

1

x

)2?2a(x?

1

x

)+2a2+2
．
令t=x-

1

x

，则|PQ|=

t2?2at+2a2+2
，由于t′=1+

1

x2

＞0，则（0，+∞）为增区间，
t∈R，故当t=a时，|PQ|取最小值为

a2+2
，由题意得，