求∫x⼀(1+x^2) dx 上限1 下限0

2024-11-28 08:22:12

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回答（1）：

原式=(1/2）∫x^2/(1+x^2) d(x^2) 上限1 下限0=(1/2)(Ln2-Ln1)=(1/2)Ln2

追加问题：
∫x^2/(1+x^2) dx 上限1 下限0=∫(1+x^2-1)/(1+x^2) dx 上限1 下限0=
∫[1-1/(1+x^2)]dx 上限1 下限0 =
∫1 dx -∫1/(1+x^2) dx 上限1 下限0=1-（arctan1-arctan0）=1-arctan1=
1-∏/4

回答（2）：

原式等于=∫1/(1+x^2) *1/2d(x^2 +1)
=1/2 *ln|1+x^2|
再带入积分上下限即可。
典型的凑配法。
那么就是这样子：
∫x^2/(1+x^2) dx
=∫(x^1+1-1)/(1+x^2)dx
=∫[1 - 1/(1+x^2)]dx
下面会了吧？

回答（3）：

∫x/(1+x^2) dx
=1/2∫(1+x^2)d(1+x^2)
=1/2ln(1+x^2)
代入上限1和下限0
=1/2(ln2-ln1)
=1/2ln2