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换元法怎么理解？

换元法怎么理解？如这道题

2025-01-13 17:40:33

推荐回答（3个）

回答（1）：

简单点说，换元法就用一个字母符号代表一堆复杂的东西，计算起来比较省力。

换元法是数学学习中的一种常见方法。

对结构比较复杂的多项式，把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替，从而将复杂的式子化繁为简。

举个简单的例子。

【例1】计算3+9+27+81+243+729+2187

分析：这题是等比数列求和，公比是3，共有7项。采用错位相减法，让等式乘以它的公比。

令A=3+9+27+81+243+729+2187；

则 3A=9+27+81+243+729+2187+6561；

两式相减，

3A-A=2A=6561-3

2A=6558

A=6558÷2=3279

所以，

3+9+27+81+243+729+2187=3279

在计算【例1】中，

G老师令A=3+9+27+81+243+729+2187；

这一步，

就叫做换元。

用字母A代表3+9+27+81+243+729+2187的和。

当然，

也可以不用A，

用B、C、D、E、F、G……都行，

喜欢哪个字母就用哪个。

注意：用换元法解答，在解题的最后一定要记得把元还回来，就像G老师在【例1】中写的最后一步“所以，3+9+27+81+243+729+2187=3279”。

回答（2）：

已知f（x-1）=x²-3x+2，求f（x+1）的解析式

如果采用换元法，则有x-1=t，即x=t+1

于是f（t）=(t+1）²-3(t+1）+2

接下来为什么要把函数解析式化成f(t)=t²-t——化成一元二次函数的标准形at^2+bt+c，简单且与习惯表示方式相符。

那么又为什么可以得出f(x)=x²-x——函数中的对应关系其实与自变量所用的字母无关。

因习惯上用x表示自变量，y代表因变量，所以把t换成通常的自变量x了。

在求反函数时，先解出x=h(y), 然后x, y互换，就是这个道理。

又为什么可以得出f(x+1)=(x+1)²-(x+1)=x²+x——你也可以使用关系式 f(t)=t²-t，然后令 t=x+1, 得f(x+1)=(x+1)²-(x+1)=x²+x。这样或许更好理解一些。

解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。

换元法又称变量替换法 , 是我们解题常用的方法之一。利用换元法 , 可以化繁为简 , 化难为易 , 从而找到解题的捷径。

换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量(或代数式)，对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果.换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题.其理论根据是等量代换.

高中数学中换元法主要有以下两类：

(1)整体换元：以“元”换“式”。

(2)三角换元，以“式”换“元”。

(3)此外，还有对称换元、均值换元、万能换元等.换元法应用比较广泛。如解方程，解不等式，证明不等式，求函数的值域，求数列的通项与和等，另外在解析几何中也有广泛的应用。

整体换元

又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4^x +2^x －2≥0，先变形为2^2x,设2^x =t（t>0），从而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元

应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=√1-x^2的值域时，若x∈[-1,1]，设x=sin α ，sinα∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x^2+y^2 =r^2（r>0）时，则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。

均值换元

如遇到x+y=2S形式时，设x= S+t，y= S－t等等。

例如清华大学自主招生考试题，已知a，b为非负实数，M=a^4+b^4，a+b=1,求M的最值

可令a=1/2-t,b=1/2+t(0≤t≤1/2),带入M，M=2×（t^2+3/4)^2-1，由二次函数性质知M（min)=1/8,M(max)=1.

等量换元

设 x+y=3

x=t+2，y=v-3 ，多在二重积分中用到。

非等量换元

设 u=（x+y）+3（x+y）

设x+y=S，也叫整体换元法。

回答（3）：

就是把代数式用字母替换表示