高等数学微分方程

如图所示：

这是齐次方程,提示你设y=ux

∵y^3dx＋2（x^3－xy^2）dy＝0，∴y^3dx＋2x^3dy－2xy^2dy＝0，
∴dx＋2（x/y）^3dy－2（x/y）dy＝0。
令x/y＝u，则x＝uy，∴dx＝udy＋ydu，
∴udy＋ydu＋2u^3dy－2udy＝0，∴ydu＝（u－2u^3）dy，
∴［1/（u－2u^3）］du＝（1/y）dy，
∴lny＝∫［1/｜u－2u^3｜］du＝（1/2）∫｜1/u｜［1/｜1－√2u｜＋1/（1＋√2u）］du，
∴lny＝∫［1/｜1－√2u｜＋1/（√2u）］du＋∫［1/（√2u）－1/（1＋√2u）］du，
∴lny＝－（1/√2）ln｜1－√2u｜＋√2ln（√2u）－（1/√2）ln（1＋√2u）＋C，
∴lny＝√2ln（√2u）－（1/√2）ln｜1－2u^2｜＋C，
∴lny＝√2ln（√2x/y）－（1/√2）ln｜1－2x^2/y^2｜＋C。
又当x＝1时，y＝1，∴0＝√2ln（√2）－0＋C，∴C＝－√2ln（√2）＝－（1/√2）ln2。
∴原微分方程的特解是：lny＝√2ln（√2x/y）－（1/√2）ln｜1－2x^2/y^2｜－（1/√2）ln2。