连续函数必区间内的唯一极值点一定是最值点么?在开区间呢?如果是怎么证明,如果不是请举出反例。

连续函数必区间内的唯一极值点一定是最值点。

如为区间内唯一的极值点——极大值点，极值点左侧是单调递增区间，极值点右侧是单调递减区间，极值点一定是区间内的最大值点；

如为区间内唯一的极值点——极小值点，极值点左侧是单调递减区间，极值点右侧是单调递增区间，极值点一定是区间内的最小值点。开闭区间都一样。

扩展资料：

极值的求法：

寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。

此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。

对于分段定义的任何功能，通过分别找出每个零件的最大值（或最小值），然后查看哪一个是最大（或最小），找到最大值（或最小值）。

一定是的

不妨用反证法

设函数f(x)在区间[a,b]连续可导,有唯一极值点c,但其不是最值点

不妨设c点为极大值点但不是最大值点,设最大值点为d

若d>c ,考察区间[c,d],f(x)在区间[c,d]连续可导,所以f(x)在[c,d]中有最小值e

显然e不等于d,又因c是[a,b]上的极大值点,存在c的某个邻域内函数值均小于f(c)

所以c也不是[c,d]区间的最小值点,所以存在e∈(c,d)为[c,d]中最小值

所以e也是[a,b]区间的极小值点,与c是唯一极值点矛盾.

所以证明成立  ，在开区间的话也同理可得出结论。

扩展资料

极值的求法：

寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。

此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。

对于分段定义的任何功能，通过分别找出每个零件的最大值（或最小值），然后查看哪一个是最大（或最小），找到最大值（或最小值）。

肯定是。开闭区间都一样。

1、区间内唯一的极值点——极大值点，极值点左侧是单调递增区间，极值点右侧是单调递减区间，极值点一定是区间内的最大值点。

2、区间内唯一的极值点——极小值点，极值点左侧是单调递减区间，极值点右侧是单调递增区间，极值点一定是区间内的最小值点。

扩展资料：

一、求极大极小值步骤：

（1）求导数f'(x)。

（2）求方程f'(x)=0的根。

（3）检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

二、特别注意：f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

三、求极值点步骤：

（1）求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值。

（2）用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。

（3）上述所有点的集合即为极值点集合。

参考资料来源：百度百科-极值

看已有的回答证明都不严谨，我把严谨的证明思路讲一下。
首先讨论闭区间[a, b]上结论是否成立，再推广到开区间。
不妨设这个极值点是极小值点x0。
闭区间可以应用连续函数的最值定理，存在最大值与最小值。最小值要么在端点取到，要么是极小值。若在端点a取到，在(a, x0)上必然存在最大值，在区间内部最大值便是极大值，矛盾，同理b端点。所以只能是在极小值x0处取得最小值。
注意，f(x)只需要有连续性就够了！不一定要求可导！极值只是在领域内取最值，在左右两侧并不一定满足单调性！比如f(x)=2-(x^2) * (2-sin(1/x))，补充x=0时f(x)=2，在x=0处是极大值点，但在x=0的任何邻域都不单调！
开区间如果极限存在延拓端点值为极限值就好了，如果极限不存在取端点的某个小邻域的边界，将这个边界作为闭区间的端。核心思想都是将开区间转化为闭区间。
加一句，为嘛现在百度知道回答都要整个拓展资料？？？真是令人迷惑

肯定是：
如为区间内唯一的极值点——极大值点，极值点左侧是单调递增区间，极值点右侧是单调递减区间，极值点一定是区间内的最大值点；
如为区间内唯一的极值点——极小值点，极值点左侧是单调递减区间，极值点右侧是单调递增区间，极值点一定是区间内的最小值点。
开闭区间都一样。