选 A。
1）若 f(0)=0，则
lim(x→0)[F(x)-F(0)]/x
= lim(x→0)[f(x)(1+|sinx|)]/x
= lim(x→0)[f(x)/x]*(1+|sinx|)
= f'(0)，
即 f(0)=0 是 F(x) 在 x=0 可导的充分条件。
2）如果 f(0)≠0，则
[F(x)-F(0)]/x = [f(x)(1+|x|)-f(0)]/x
= -f(0)/x+(1+|x|)[f(x)-f(0)]/x
当 x→0 时极限不存在，即 F(x) 在 x=0 不可导，亦即 f(0)=0 是 F(x) 在 x=0 可导的必要条件。
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