如图,在三角形ABC中,角ABC等于90度,AB等于90度,AB=4,BC=3,O是边A C上的一个动点,

（1）证明：连接OD，
∵AP切半圆于D，∠ODA=∠PED=90°，
又∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ADE=∠ODE+∠ODA，
∠AEP=∠OED+∠PED，
∴∠ADE=∠AEP，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEP；

（2）解：∵△AOD∽△ACB，
∴
0A
CA
＝
OD
CB
＝
AD
AB
，
∵AB=4，BC=3，∠ABC=90°，
∴根据勾股定理，得AC=
AB2+BC2
=5，
∴OD=
3
5
OA，AD=
4
5
OA，
∵△ADE∽△AEP，
∴
AE
AP
＝
AD
AE
=
DE
EP
，
∵AP=y，OA=x，AE=OE+OA=OD+OA=
8
5
OA，
∴
AE
AP
＝
AD
AE
=

4
5
OA

8
5
OA

=
1
2
，
则y=
16
5
x（0＜x≤
25
8
）；

（3）解：情况1：y=
16
5
x，BP=4-AP=4-
16
5
x，
∵△PBF∽△PED，
∴
BF
BP
＝
ED
EP
，
又∵△ADE∽△AEP，
∴
ED
EP
＝
AE
AP
，
∴
BF
BP
＝
AE
AP
，
∴
1
4−
16
5
x

＝

8
5
x

16
5
x

，
解得：x=
5
8
，
∴AP=
16
5
x＝2．
情况2：如图，半圆O的半径R较大时，EP交AB延长线于点P，P在B上方；交BC于点F，F在BC之间：
CF=BC-BF=3-1=2，
过点E作EG⊥BC，
则△CGE∽△CBA，
则
EG
AB
=
CG
BC
=
CE
AC
=
2
5
，
解得，EG=
8
5
，CG=
6
5
，
FG=FC-CG=2-
6
5
=
4
5
，
PB：EG=FB：FG，
PB=
8
5
÷
4
5
=2，
AP=AB+PB=4+2=6．
故线段AP的长为2或6．