证明π是无理数

假设pi=a/b，我们定义（对某个n）： 

f(x) = (x^n) * (a-bx)^n / n! 

F(x) = f(x) + ... + (-1)^j * f^(2j)(x) + ... + (-1)^n * f^(2n)(x) 

这里f^(2j)是f的2j次导数. 

于是f和F有如下性质（都很容易验证）: 

（1)f(x)是一个整系数多项式除以n!。 

（2)f(x) = f(Pi - x) 

（3)f在(0,pi)区间上严格递增，并且x趋于0时f(x)趋于0， 

x趋于pi时f(x)趋于pi^n * a^n / n! 

（4)对于0 <= j < n, f的j次导数在0和pi处的值是0。 

（5)对于j >= n, f的j次导数在0和pi处是整数（由1)可知）。 

（6)F(0)和F(pi)是整数（由4)，5)可知）。 

（7)F + F'' = f 

（8)(F'·sin - F·cos)' = f·sin （由7)可知）。 

这样，对f·sin从0到pi进行定积分，就是 

(F'(pi)sin(pi)-F(pi)cos(pi)) - (F'(0)sin(0)-F(0)cos(0)) 

=F(pi)+F(0) 

由（6)可知这是个整数。 

问题在于如果把n取得很大，由3)可知f·sin从0到pi进行定积分必须严格大于0严格小于1。矛盾，证毕。

扩展资料：

古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；鲁道夫用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。

1、马青公式

这个公式由英国天文学教授约翰·马青于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。马青公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。

2、AGM（Arithmetic-Geometric Mean）算法

高斯-勒让德公式：

这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。1999年9月，日本的高桥大介和金田康正用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。

参考资料来源：百度百科-圆周率

利用反证法，假设π是有理数，设π=a/b,a,b为互质正整数，定义f(x)=x^n*(a–bx)^n/n!

=\sum_{i=0}^n (-1)^i*a^(n-i)*b^i*x^(n+i)/ n!.

f(0)=0;当02n时显然有f(r)(0)=0, 当n=
令F(x)=f(x)-f''(x)+f(4)(x)-...+(-1)nf(2n)(x)，则d[F'(x) sin x-F(x) cos x]/dx= F"(x) sin x + F(x)sin x = f(x) sinx 。\int^π_0 f(x)sinx\dx=F(π)+ F(0)……(1)，根据上述分析，(1)式右边为整数，但根据0
故假设错误，或者说π只能是无理数。

粘贴出问题，参看原文：
http://xh.2000y.net/userdir/60916138/news.php?id=132

分子和分母不是无理数这个分数就一定是有理数。然而周长／直径等于兀，但周长和直径都是有理数

假设∏是有理数，则∏=a/b，(a,b为自然数)
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若000以上两式相乘得:
0当n充分大时，,在[0，∏]区间上的积分有
0<∫f(x)sinxdx
<[∏^(n+1)](a^n)/(n!)<1
…………(1)
又令:F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)
由于n!f(x)是x的整系数多项式，且各项的次数都不小于n，故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数，因此，F(x)和F(∏)也都是整数。
又因为
d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx
=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx
=F"(x)sinx+F(x)sinx
=f(x)sinx
所以有:
∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx]，(此处上限为∏，下限为0)
=F(∏)+F(0)
上式表示∫f(x)sinxdx在[0，∏]区间上的积分为整数，这与(1)式矛盾。所以∏不是有理数，又它是实数，故∏是无理数。

3楼贴的证法已经是很简洁的经典证法了。
首先需要肯定的是，π的定义依赖于极限，所以基本上不可能在初等数学范畴里完成。
还有一种比较常规的方法就是利用连分数，其思想很简单，因为有理数的连分数表示是有限的，只要找到π的连分数表示就行了。这种做法还可以适用于很多无理数的证明，当然你首先需要掌握如何把Taylor级数转化成连分数形式。学习这种方法还不如把3楼提供的方法看懂。