高数 利用零点定理的证明题

2024-11-22 10:03:22
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考察G(x)=f(x+1/4)-f(x)
G(0)=f(1/4)-f(0)
G(1/4)=f(1/2)-f(1/4)
G(1/2)=f(3/4)-f(1/2)
G(3/4)=f(1)-f(3/4)

G(0)+G(1/4)+G(1/2)+G(3/4)=f(1/4)-f(0)+f(1/2)-f(1/4)+f(3/4)-f(1/2)+f(1)-f(3/4)
=-f(0)+f(1)=0
如果G(0),G(1/4),G(1/2),G(3/4)全为0,则x0可以是0,1/4,1/2,3/4中任意一个;
如果一项是0,则该项的自变量可以取为x0,满足G(x0)=f(x0+1/4)-f(x0)=0;
如果任何一样的都不是0,必有两项符号相反,否则,和不可能是0,
在符号相反的两项中间,根据连续性,必有x0是的G(x0)=f(x0+1/4)-f(x0)=0。