解：
（1）∵直线y=kx-1与Y轴的交点为C（0, -1）
∴OC＝1
∵OC=2OB
∴OB＝½
∴B点坐标为（½，0）
将B（½，0）代入y=kx-1，得
½k-1=0
解得k=2
(2)由（1）可知直线的解析式是y=2x-1,
S＝½×OB×yA
=½×½×(2x-1)
=½x-¼
即：三角形AOB的面积S与x的函数关系式为s=½x-¼
(3)当S＝¼时，½x-¼＝¼，解得x=1
把x=1代入y=2x-1,得y=1
∴①当点A运动到点（1,1）位置时,三角形AOB的面积是四分之一；
②存在。P1（1, 0）、P2（√2, 0）、P3（2, 0）、P4（-√2, 0）.
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