请问什么是“超越数”？

请详细讲解，拜托了！将我讲懂了加分！！！！！！

2024-10-27 19:03:48

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回答（1）：

超越数是不能满足任何整系数代数方程的数。这即是超越数是代数数的相反，也即是说若 x 是一个超越数，那麽对于任何整数 $a_n, a_{n_1}, \ldots, a_0$ 都符合：

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \ne 0$
超越数的例子包括：

刘维尔 (Liouville) 常数： $\sum_{k=0}^\infty 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000\ldots$
它是第一个确认为超越数的数，是于 1844年刘维尔发现的。
e
$e^a$ ，其中 a 是代数数。
π
$e^\pi$
$2^{\sqrt{2}}$ 。
更一般地，若 a 为零和一以外的任何代数数及 b 为无理代数数则 $a^b$ 必为超越数。希尔伯特第七问题便是问若 b 只是无理数那麽 $a^b$ 是否也是超越数。此问题到目前为止还未解决。
sin 1
ln a，其中 a 为非一正有理数。
Γ (1/3) 及 Γ (1/4)（参见伽傌函数）。
所有超越数构成的集是一个不可数集。这暗示超越数远多于代数数。可是，现今发现的超越数极少，因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。

超越数的发现令一些古代尺规作图问题的不可能性得以证明。这包括着名的化圆为方问题，因 π 是超越数而被确定为不可能的了。

回答（2）：

回答（3）：

嘿嘿，我只听说过超越方程，没听说过超越数
知识少了啊