58问答库 > 已知ab≠0,如何证明A＋B＝1是A3+B3+AB－A2－B2＝0的充要条件。

已知ab≠0,如何证明A＋B＝1是A3+B3+AB－A2－B2＝0的充要条件。

2024-11-20 09:27:28

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a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)3+ab-a-b-3a2b-3ab2=(a+b)3-(a+b)2+2ab-3a2b-3ab2=(a+b)2(a+b-1)-3ab(a+b-1)=(a+b-1)(a2-ab+b2)

充分：因为a+b=1
所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0
必要：若要a3+b3+ab-a2-b2=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0
则a+b-1=0或a2-ab+b2=0
又因为a2-ab+b2不可能为0
所以a+b-1=0即a+b=1