三角形重心有什么性质？

重心的几条性质 ：

1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。

5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

6.三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC²+CA²)。

7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP+AC/AQ=3

8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB²+BC²+CA²)为半径的圆周上。

9、G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA²+PB²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²。

扩展资料：

重心确定方法

1，组合法

工程中有些形体虽然比较复杂，但往往是由一些简单形体的组合，这些形体的重心通常是已知的或易求的。

2，负面积法

如果在规则形体上切去一部分，例如钻一个孔等，则在求这类形体的重心时，可以认为原形体是完整的，只是把切去的部分视为负值（负体积或负面积）。

3，实验法（平衡法）

如物体的形状不是由基本形体组成，过于复杂或质量分布不均匀，其重心常用实验方法来确定。主要包括悬挂法和称重法。

参考资料:百度百科--重心

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，
5、三角形内到三边距离之积最大的点。

三角形重心是三角形三条中线的交点。
性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
性质二、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
性质三、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）
性质四、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。
性质五、三角形内到三边距离之积最大的点。
性质六、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。
性质七、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
关于重心的顺口溜：
三条中线必相交，交点命名为重心
重心分割中线段，线段之比二比一；
扩展资料：
三角形的五心之其他四心：
内心：三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心.(外接圆的圆心)
外心：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。
旁心： 三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

三角形重心的性质如下

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

三角形重心
数学几何术语
三角形重心是指几何数学中三角形三边中线的交点。 当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。

中文名
三角形重心
外文名
centroid
定义
三角形三条中线的交点
性质比例
重心到顶点与到对边中点比为2：1
应用领域
几何
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三角形三心
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最恐怖的数学定理
性质证明
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

三角形重心

例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG

证明：过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

三角形重心

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

证明方法：

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：

OA'=1/3AA'

OB'=1/3BB'

OC'=1/3CC'

过O，A分别作a边上高OH'，AH

可知OH'=1/3AH

则，S △BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S △ABC

同理可证S △AOC=1/3S △ABC

S △AOB=1/3S △ABC

所以，S △BOC=S △AOC=S △AOB

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）

证法一：

设三角形三个顶点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3) 平面上任意一点为（x 0，y 0） 则该点到三顶点距离平方和为：

(x 1-x 0) 2+(y 1-y 0) 2+(x 2-x 0) 2+(y 2-y 0) 2+(x 3-x 0) 2+(y 3-y 0) 2

=3x 0 2-2x 0(x 1+x 2+x 3)+3y 0 2-2 0y(y 1+y 2+y 3)+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2

=3[x 0-1/3*(x 1+x 2+x 3)] 2+3[y 0-1/3*(y 1+y 2+y 3)] 2+x 1 2+x 2