在三角形ABC中,∠B=2∠C,AD是∠BAC的平分线。试证明:AC=AB+BD

证明：在三角形ABC中,∠B=2∠C，由正弦定理可得
AC/sinB=AB/sinC
∠B=2∠C ∠B+∠C =2∠C+∠C=3∠C<180, <0∠C<60,
cosC>1/2 sinB=sin2C=2sinCcosC>2*1/2*sinC=sinC
得到AC>AB，
在AC上取AE=AB.AC=AE+EC
AD是∠BAC的平分线,△ABD≌△AED.（边角边）
∠AED=∠B=2∠C.
∴∠CDE=∠C
∴DE=CE ，又DE=BD,AE=AB
故证AC=AB+BD.

证明：
在AC上截取AE=AB.
△ABD≌△AED.
∠AED=∠ABD=2∠C.
∴∠CDE=∠C
∴DE=CE
∴AC=AB+BD.

1.延长AB至E，使AE=AC,则△ABE≌△ADC
∴∠E=∠C,
又∠ABD=∠E+∠EDB=2∠C=2∠E,
∴∠EDB=∠E
∴BE=BD
∴AC=AE=AB+BE=AB+BD
2.延长DB至E，使BE=AB,
则∠E=∠BAE
又∠ABD=∠E+∠BAE,
∴∠ABD=2∠BAE=2∠C,
∴∠BAE=∠C,
∴AC=AE
又∠ADE=∠C+∠DAC,
∠DAE=∠BAE+∠DAB,
∴∠ADE=∠DAE
∴AE=ED
∴AC=ED=EB+BD=AB+BD

延长CB至E，使BE=AB.则易得DE=AE=AC=AB+BD。
证毕