58问答库 > 已知a,b,c为正数,a^3+b^3+c^3=3abc 求证:a=b=c

已知a,b,c为正数,a^3+b^3+c^3=3abc 求证:a=b=c

2024-11-05 20:46:02

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回答（1）：

因为a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) ，由条件a^3+b^3+c^3=3abc
所以(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0
要想(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0，必须(a+b+c)=0或者（a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0
因为已知a,b,c为正数，所以只能是（a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0
又a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=1/2(a-b)^2+1/2(b-c)^2+1/2(a-c)^2=0
因为平方只能大于或等于零，所以要想1/2(a-b)^2+1/2(b-c)^2+1/2(a-c)^2=0
当且仅当a=b=c时等式成立