等差数列前n项和的性质

1、数列的前n项和S 可以写成S =an^2+bn的形式(其中a、b为常数)。

在等差数列中，S = a，S = b (n>m)，则S = (a－b)。

2、记等差数列的前n项和为S。

①若a >0，公差d<0，则当a ≥0且an+1≤0时，S 最大；

②若a <0 ，公差d>0，则当a ≤0且an+1≥0时，S 最小。

等差数列的应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。

扩展资料

1、用前n项和公式法判定等差数列

等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是 否为等差数列的方法：若数列{an }的前n项和S =an^2+bn+c，那 么当且仅当c = 0时，数列{an }是以a + b为首项， 2a为公差的等差 数列；当c ≠ 0时，数列{an} 不是等差数列。

2、求解等差数列的通项及前n项和　

对称项设法.当等差数列{an }的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以 公差为d向两边分别设项： ⋯, a − 2d, a − d, a, a + d, a + 2d, ⋯；当 等差数列{an }的项数为偶数时，可设中间两项分别为a − d, a + d， 再以公差为2d向两边分别设项： ⋯, a − 3d, a − d, a + d, a + 3d, ⋯

参考资料来源：百度百科-等差数列

S(2n-1)=(A1+A(2n-1))*((2n-1)/2
这就是求和的公式
因为1+(2n-1)=2n
所以A1+A(2n-1)=2An
所以(A1+A(2n-1))*((2n-1)/2=(2n-1)*An

2n-1是奇数
所以奇数项是n项，首项是A1，末项是A(2n-1)
所以S奇=[A1+A(2n-1)]*n/2=2An*n/2=n*An
偶数项是n-1项，首项是A2，末项是A(2n-2)
和前面一样的道理，A2+A(2n-2)=2An
所以S偶=[A2+A(2n-2)]*(n-1)/2=(n-1)*An
所以S奇/S偶 =n/(n-1)

S偶-S奇=(n-1)*An-n*An=-An

等差数列的求和：
和=(首项+尾项)×项数/2

和=中间项×项数。

第一个式子S(2n-1)=(A1+A(2n-1))*((2n-1)/2用的是上面的第一个等式。
第二个式子S(2n-1)=(2n-1)*An 用的是上面的第二个等式。

S奇=A1+A3+A5+……+A(2n-3)+A(2n-1)
共(2n-1-1)÷2+1=n项，S奇=(A1+A(2n-1))*n/2
S偶=A2+A4+A6+……+A(2n-2)
共(2n-2-2)÷2+1=n-1项，S偶=(A2+A(2n-2))*(n-1)/2
又A2+A(2n-2)=A1+A(2n-1)
所以，S奇/S偶 =n/(n-1)

S奇=(A1+A(2n-1))*n/2=n*An
S偶=(A2+A(2n-2))*(n-1)/2=(n-1)*An

所以，S偶-S奇=-An

（A1+A(2n-1))/2即是数列的中间项