在平面上取一点,使它到任意四边形的四个顶点的距离和最短

2025-03-31 02:07:11

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回答（1）：

费马点之求法（参考图一）。
(1) 做一三内角均小於120°之△ABC。
(2) 以，为一边，分别向外侧做正三角形△ABD与△ACE。
(3) 连接，交於P点，则P点即为所求。
2.费马点的性质：L= + + 为最小值。
～首先证明由上述作法做的费马点存在-----
ㄅ.（参考图二）旋转△BPC，
使与重合（ = ），
P点落在H处
则∠BPC=∠BHG=120°
ㄆ.又∠BHP=60°（证明在ㄇ）
∴∠BHG+∠BHP=180°
故A，P，H，G三点共线
ㄇ.∵△BHG △BPC
得 = ， =
∵∠2+∠3=60°且∠1=∠3
∴∠1+∠2=60°=∠PBH
因此△BPH为正△，得 =
知存在一点P使得 + + = + + =
～再来证明所求出的点至三顶点距离最小
ㄅ.（参考图三）在ABC内另取一点Q异於P，
连接、、
ㄆ.参考步骤（1）之证法同理可证得 + + = + +
ㄇ.
故P点使 + + 为最小值
Ⅱ.一般费马点的探讨仅限於三角皆小於120°三角形内部，那麼如果讨论任一角大於或等於120°之三角形，是否能找到一点至三顶点距离和最短？（参考图四）
(1) △ABC的∠A＞120°，P为△ABC内部任一点
延长至B'，使 =
做∠B'AP'=∠BAP，取 =
故△B'AP' △BAP，得 = 。
於是 + + = + + ，
(2) 但因∠A＞120°，故∠B'AB＜60°，
亦得∠PAP'＜60°；从而等腰三角形P'AP
中∠AP'P＞60°，故＞
则 + + ＞ + + ＞ + ，即 + + ＞ +
亦即：如果有一点P与A重合，则P点即是到A、B、C三点距离之和最小的点。
(3) 证得：若已知三角形有一内角大於或等於120°，则费马点即为该内角的顶点。
Ⅲ.三内角皆小於120°的三角形才存在费马点，但在日常生活中不止三角形需要找到一点到各顶点距离和最小ㄚ！也就是如果改变形状后是否能找到一点P点，使得P点至顶点距离和最小，我们以下就最简单的四边形先做讨论（参考图五）。

(1) 已知：四边形ABCD
求作：ABCD内的P点
做法：在四边形ABCD中
∵对角线为直线
∴对角线为A、C之间的最小距离
同理对角线为B、D之间的最小距离
发现：、之交点P为四边形ABCD内之一点使得 + + + 为最小值
即P点至四边形四个顶点距离和最小
(2) 证明：（参考图六）
在四边形ABCD内另取一点P'异於P
连接、、、
△P'BD、△AP'C中
+ ＞且 + ＞（任两边和大於第三边）
∴ + + + ＞ + = + + +
故P点使 + + + 为最小值
(二) 运用物理学方法探讨费马点之相关理论———常听人说『数学是科学之
母』，那是否能运用科学方法验证费马点的存在性或一些费马点的性质ㄋ？参考老师的意见并思考后做了一系列有关力学的实验：
1. 实验一：从三力平衡证明费马点的性质－、、所夹的三个角必为120°。
(1) 以木条为边组装正三角形，三顶点各装置一滑轮，取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W，分别由三滑轮垂下，另一端连在一起代表P点。
(2) 让重物自然垂下到达静止状态，量测∠APB、∠APC、∠BPC之角度（数据说明在表一）。
(3) 因为三重物重量相等，三条线的张力亦相同，即F1=F2=F3=W在平衡时所构成的力图（参考图A）形成的「封闭三角形（参考图B）」为正三角形，亦即该力图之三力所夹的三个角
皆为120°。
(4) 将步骤(2)之实验装置垂直置於一座标平面之上方，纪录P点座标，再和（三）求出之P点一次函数，以电脑程式计算（详细程式参考附件二）是否符合。
(5) 重复以上步骤5次，并改变三角形的形状重复操作。
2. 实验二：从实验发现费马点具有最低的位能的特性。
(1) 以木条为边组装正三角形ABC置於水平面上，三顶点各装置一滑轮，取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W，分别由三滑轮垂下，由实验一已知P点为费马点。
(2) 於P点（费马点）悬挂一黏土块W，让重物自然垂直向下移动到达静止状态（装置参考图C），量测此时P点与水平面之垂直距离，分别作三次后取平均值，高度为hP。
(3) 将P点任意移向三边、、上任意点，然后将重物放开，发现不论在任何边上，均会趋向费马点。根据「物体会自由趋向能量最低点」的原理，可证明费马点具有最低的位能。
(4) 将步骤(3)之实验过程分别纪录得到位能高度h'（三次平均值）、、（代表从点释放后的状况，依此类推）、、、、（数据说明在表二）。
(5) 重复以上步骤3次，并改变三角形的形状重复操作。
(三)求作直角座标系中的费马点验证物理实验结果———直角座标常被利用在地图的表示上，是否我们能找出求作直角座标系中的P点（P点为至各顶点距离和最小的一点）再配合电脑程式来验证我们实验结果？
(1) 三角形---
a.为方便起见一边固定於x轴上且一顶点为原点，做法乃利用前述（一）的想法
b.以下先就特殊三角形一一做讨论再推广至一般三角形
ㄅ.三角形（参考图七）
=
= =
故P点座标为（）
ㄆ.等腰三角形（参考图八）
∵四边形AOBC为鸢形
∴
又∠OPC=120°
因此∠OPD=60°
故 = = =
则P点座标为（）

ㄇ.直角三角形（参考图九）
设过P点之函数为y=ax+b
将A，B，C，D四点座标代入
求，之方程式并解联立方程式
： y= x+y1
： y= (x-x1)
得P点座标为
ㄈ.等腰直角三角形

等腰直角三角形为等腰三角形之一种，故P点座标可参考等腰三角形之求法。同理P点座标也可参考直角三角形之求法。
ㄉ.任意三角形（参考图十）
设过P点之函数为y=ax+b
将A，B，C，D四点座标代入
求，并解联立方程式
： y=
： y=
得P点座标为
(2) 四边形---
a. 为方便起见一边固定於x轴上且一顶点为原点，做法乃利用前述（三）的想法
b. 以下先就特殊四边形一一做讨论再推广至任意四边形
ㄅ.正方形（参考图十一）
∵四边形ABCO为正方形
∴ 平分且 =
（正方形中对角线互相平分）
故P点座标为（）
ㄆ.长方形（参考图十二）
∵四边形ABCO为长方形
∴ 平分且 =
（长方形中对角线互相平分）
故P点座标为（）
ㄇ.平行四边形（参考图十三）
∵四边形ABCO为平行四边形
∴ 平分且 =
（平行四边形中对角线互相平分）
故P点座标为（）
ㄈ.菱形（参考图十四）
∵四边形ABCO为菱形
∴ 平分且 =
（菱形中对角线互相平分）
故P点座标为（）
发现：若四边形对角线互相平分，
则其P点为此四边形对角线之中点。
ㄉ.等腰梯形（参考图十五）
作 // //
∵ // //
∴△ABP~△OPC

设为，为y-

( )
∴
又∵ABCO为等腰梯形
∴
故P点座标为（）
ㄊ.两个内角为直角的梯形（参考图十六）
作 // //
∵ // //
∴△ABP~△OPC

设为，为y-

( ) =
∴
∵ // //
∴△ADP~△AOC

设为

∴
故P点座标为（）
ㄋ.任意梯形（参考图十七）
作 // //
∵ // //
∴△ABP~△OPC

设为，为y-

( )=
∴
∵ // //
∴△ADP~△AOC

设为

∴
故P点座标为（）
（以下为方便起见，将两顶点固定於x轴上）
ㄌ.鸢形（参考图十八）
∵ 为对角线
∴P点在x轴上
又四边形ABCO为鸢形
∴ 平分且
故P点座标为（）
ㄍ.任意凸四边形（参考图十九）
设过P点之函数为y=ax+b
将A，B，C，O四点座标代入
求，之方程式并解联立方程式
： y=
： y=0
得P点座标为

五、研究结果
以下配合直角座标及物理实验，依图形形状不同一一分析物理及数学所求的数据，找出其相关性。
（一）正三角形、直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形和任意锐角三角形的P点一次函数（参考前述直角座标的图形）：
1. 正三角形：（）
2. 等腰三角形：（）
3. 直角三角形：
4. 等腰直角三角形：（）或
5. 任意三角形：
（二）正方形、长方形、平行四边形、菱形、等腰梯形、两个内角为直角的梯形、任意梯形、鸢形和任意四边形的P点一次函数（参考前述直角座标的图形）：
1. 正方形、长方形、平行四边形、菱形：（）
2. 等腰梯形：（）
3. 两个内角为直角的梯形：（）
4. 任意梯形：（）
5. 鸢形：（）
6. 任意四边形：
（三）实验一数据（表一）：
正三角形 A(2,2 ) B(4,0) C(0,0)

次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 120° 120.5° 118° 120.5° 120°
∠APB 120° 119.5° 122° 121° 124°
∠BPC 120° 119° 119° 120° 117°
P点座标测量值 (1.96,0.91) (2.00,1.34) (2.06,1.40) (2.05,1.44) (2.03,1.35)
计算值约(2,1.154701)
等腰三角形 A(1.5, ) B(3,0) C(0,0)

次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 123° 118° 119° 122° 120°
∠APB 119° 120° 119.5° 120° 120°
∠BPC 121° 120° 121° 121° 119°
P点座标测量值 (1.50,1.08) (1.51,0.92) (1.61,0.89) (1.60,0.98) (1.52,1.02)
计算值约(1.5,0.866025)

直角三角形 A(0,4) B(3,0) C(0,0)
次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 119° 118° 122° 121.5° 121°
∠APB 120° 121° 120.5° 121° 120°
∠BPC 120° 121° 119.5° 118° 120°
P点座标测量值 (0.66,0.84) (0.69,0.65) (0.79,0.55) (0.71,0.58) (0.84,0.56)
计算值约(0.75117,0.695789)
等腰直角三角形 A(0,3) B(3,0) C(0,0)
次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 121° 120° 119° 118.5° 120°
∠APB 119° 119.5° 121° 119° 119.5°
∠BPC 118° 118° 119.5° 119.5° 118°
P点座标测量值 (0.58,0.61) (0.72,0.58) (0.62,0.59) (0.50,0.80) (0.66,0.56)
计算值约(0.633975,0.633975)
任意三角形 A(2.2,3.6) B(4.8,0) C(0,0)
次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 121.5° 119.5° 120° 118.5° 120°
∠APB 119.5° 120° 120.5° 120° 122°
∠BPC 119° 120.5° 120° 119° 120°
P点座标测量值 (1.96,0.91) (2.00,1.34) (2.06,1.40) (2.05,1.44) (2.03,1.35)
计算值约(2.257189,1.381958)